Longitud De Arco

Introducción

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.

En palabras más simples es la distancia que hay desde el punto inicial de uno de sus extremos hacia el punto final del otro extremo. Para poder hallar la longitud de un arco, es necesario saber algunas cosas.

Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque se fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Esto lo podemos expresar como que c es la curva dada por la función r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k con continuidad en (a,b), pues cabe recalcar que una curva puede representarse en un plano tridimensional, por eso es que corresponden valores para i=x,g=y,h=z que son los ejes de un plano.

Longitud De Arco

Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta es una estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posicionados con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente.

Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto la definición de la longitud del arco es la misma que para otras curvas definidas paramétricamente. Para una función vectorial “r(t)”, en el intervalo cerrado (a,b) cuya definición está dada por la ecuación:

r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k

Donde f, g, y h, pueden ser números reales cualquiera

La primera derivada de la función será,

r´(t)=lim┬(∆t→0)⁡((r(t+∆t)-r(t))/∆t)

Tenemos la longitud del arco de la función como,

L=∫_a^b▒〖√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2 ) dt 〗

Aquí tenemos x=f(t),y=g(t) y z=h(t).

Tomando en cuenta que la magnitud de la función vectorial “r(t)”, está dada por

|r´(t)|=√(〖(f´(t))〗^2+〖(g´(t))〗^2 〖(h´(t))〗^2 )

Esto puede ser escrito como,

L=∫_a^b▒〖√(|r´(t)| ) dt〗

La ecuación anterior puede ser aproximada mediante la sumatoria de Riemann para confirmar que es la longitud del arco de una función vectorial,

L≈∑_(i=0)^(n-1)▒|r´(t_i)|∆t

Por lo tanto, se puede concluir que,

r´(t_i)≈(r(t_i+∆t)-r(t_i))/∆t

Esto implica que tenemos,

L≈∑_(i=0)^(n-1)▒|r(t_i+∆t)-r(t_i)|

La ecuación anterior representa la longitud total de un polígono que tiene sus segmentos de recta entre los vértices r (ti), donde i = 0… n. por tanto, se puede concluir que el resultado obtenido es una solución casi perfecta.

La longitud del arco también está representada por esta ecuación en forma polar:

L=∫_a^b▒〖|r´(t)| dt〗

En la ecuación anterior L representa la longitud de arco el intervalo cerrado (a,b) . Utilizar esta fórmula para la longitud de arco es algo muy factible de hacer porque la longitud del arco de una curva no depende de algún otro tipo de parámetro, lo que nos permite poder estudiar las otras propiedades de la curva de forma más conveniente.

Después de haber visto varias fórmulas que pueden confundir o no ser tan entendibles, para esto se busca con los siguientes ejemplos comprender mejor los conceptos aprendidos anteriormente

Ejemplo:

Hallar

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