Matematicas 4

Algebra booleana.

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.

Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.

Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.

Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.

Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Teoremas y postulados.

Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

Teorema 1: A + A = A

Teorema 2: A • A = A

Teorema 3: A + 0 = A

Teorema 4: A • 1 = A

Teorema 5: A • 0 = 0

Teorema 6: A + 1 = 1

Teorema 7: (A + B)' = A' • B'

Teorema 8: (A • B)' = A' + B'

Teorema 9: A + A • B = A

Teorema 10: A • (A + B) = A

Teorema 11: A + A'B = A + B

Teorema 12: A' • (A + B') = A'B'

Teorema 13: AB + AB' = A

Teorema 14: (A' + B') • (A' + B) = A'

Teorema 15: A + A' = 1

Teorema 16: A • A' = 0

Optimización de expresiones booleanas.

Las expresiones booleanas se usan para determinar si un conjunto de una o más condiciones es verdadero o falso, y el resultado de su evaluación es un valor de verdad. Los operados de una expresión booleana pueden ser cualquiera de los siguientes:

Expresiones relacionales: que comparan dos valores y determinan si existe o no una cierta relación entre ellos (ver más adelante), tal como m f n <10;

Funciones booleanas: tal como p (v24), que regresa un valor de verdad (estos se explican bajo "Funciones booleanas"). Las expresiones relacionales permiten determinar si una relación dada se verifica entre dos valores. La forma general de una expresión relacional es:

Expresión 1 operador de relación expresión 2

Dónde:

Expresión-1 es una expresión numérica o de cadena

Operador-de-relación es uno de los siguientes:

= Igual

No igual (diferente de)

< Menor que

<= Menor o igual que

Mayor que

>= Mayor o igual que

Contiene (puede ser usado sólo en expresiones de cadena)

Expresión-2 es una expresión del mismo tipo que expresión-1, o sea, expresión- 1 y expresión-2 deben ser ambas expresiones numéricas o ambas expresiones de cadena.

Aplicación de algebra booleana.

Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con aquellos estados lógicos mencionados en lo anterior y funcionan igual que una calculadora, de un lado ingresas los datos, ésta realiza una operación, y finalmente, te muestra el resultado.

Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un Símbolo, y la operación que realiza (Operación lógica) se corresponde con una tabla, llamada Tabla de Verdad, veamos la primera.

Compuerta NOT

Se trata de un

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