Matemáticas Analíticas

Localización de puntos en la recta. Ubicación del punto que divide al segmento en una razón dada

Imagina a dos puntos diferentes, P1=(x1,y1) y P2=(x2,y2), ubicados en el plano cartesiano. Estos dos puntos definen un segmento de recta, al que podemos simbolizar con P1P2¯¯¯¯¯¯¯¯. Un tercer punto, llamémosle Pk, divide al segmento P1P2¯¯¯¯¯¯¯¯ en los segmentos P1Pk¯¯¯¯¯¯¯¯ y PkP2¯¯¯¯¯¯¯¯. ¿Cuáles deben ser las coordenadas de Pk de manera que la razón entre las longitudes de los dos segmentos P1Pk¯¯¯¯¯¯¯¯ y PkP2¯¯¯¯¯¯¯¯ sea igual a algún valor dado k∈[0,1]? .

Escrito de forma más concisa, buscamos el punto Pk tal que

D(P1,Pk)=kD(P1,P2),k∈[0,1].

Por ejemplo, si k=12, buscamos un punto que se encuentre a la mitad de la distancia entre A y B y sobre el segmento de recta que los une (observa la siguiente figura).

.

Las coordenadas del punto Pk son:

Pk=[(1−k)x1+kx2,(1−k)y1+ky2].

Se recomienda como ejercicio de clase verificar que D(P1,Pk)=kD(P1,P2).}

¿Cuál es el punto ubicado a la mitad de la distancia entre los puntos con coordenadas (5,2) y (−3,4)?.

Solución.

Pm=[5+(−3)/2 ,2+4 /2]

Pm=(2/2,6/2)

Pm=(1,3)

Coordenadas cartesianas en el plano: distancia entre dos puntos, coordenadas de un punto que divide un segmento de acuerdo con una razón dada

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes.El plano cartesiano es un sistema gráfico de referencia formado por dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente.

(Se denomina cartesiano ya que fue René Descartes quien lo utilizó de manera formal por primera vez) El punto de corte de las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como origen del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números enteros de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números enteros de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas dividen al plano en cuatro regiones, estas zonas se conocen como cuadrantes y se ordenan así Primer cuadrante "I" región superior derecha Segundo cuadrante "II" región superior izquierda Tercer cuadrante "III" región inferior izquierda Cuarto cuadrante "IV" región inferior derecha El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos.

Las coordenadas cartesianas se usaron un ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

Distancia entre dos puntos

Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.

Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos

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