Matriz Ortogonal

Tutoría 02

Hernán Aules Centeno Quito, Mayo del 2021

Matriz Ortogonal

Definición

Sea A ∈ Mn (R) se dice que A es ortogonal, si se verifica que

AAt = AtA = In

Definición

Sea An = [ai(]n una matriz cuadrada no singular

A ortogonal, si y sólo si A—1 = At

Propiedades

1. En particular toda matriz ortogonal es invetible

1. Puesto que (At)t = A, se deduce que la inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal
2. Si A y B son ortogonales entonces AB es ortogonal

Observación

Para la matriz ortogonal debe cumplirse que A—1 = At hay que tener en cuenta que sus determinantes son diferentes de cero, es decir que sus matrices sean invertibles o no singulares

Teorema

El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.

Demostración

Sean A y B dos matrices ortogonales, se tiene que

At = A—1,        Bt = B—1, de donde (A · B)t = Bt · At

Luego

(A · B)t = B—1 · A—1 = (A · B)—1

por lo tanto A · B es una matriz Ortogonal        □

Observación

(A · B)t = At · Bt no está definido

Ejemplo

Comprobar que la matriz cuadrada dada es ortogonal

,,  cos x    — sin x    0  ,,[pic 1][pic 2]

[pic 3]

entonces comprobaremos AAt

, cos x  — sin x   0 ,

, cos x        sin x        0 ,

A = ,  sin x        cos x        0  ,, La Transpuesta es At = ,  — sin x    cos x    0  , , por lo tanto[pic 4][pic 5]

, cos x   — sin x   0 1        , cos x        sin x        0 1[pic 6]

A · At        =[pic 7][pic 8]

@ sin x        cos x        0 ,        · @ — sin x   cos x   0 ,

[pic 9]        [pic 10]

=   @        0        cos2 x + sin2 x  0 ,

0        0        1

Recordadndo        cos2 x + sin2 x = 1 Ecuación Pitágora fundamental

3·3

, cos2 x + sin2 x        0        0 1        , 1  0   0 1

A · At        =   @        0        cos2 x + sin2 x  0 , = @ 0   1   0 , = I[pic 11][pic 12]

Entonces A es Ortogonal

Ejemplo

Sea  A  =  ,2[pic 13][pic 14][pic 15]

At = A—1

   1 —1     comprobar si A es una matriz ortogonal, sabiendo que debe cumplir con la condición

  1   1 —1   [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

   1 √2 — 1 √2   

[pic 21]        [pic 22]

[pic 23]        [pic 24] [pic 25]

t                 1 √2        1 √2        1[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

luego A        =[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

2        2

— 2  2        2[pic 44][pic 45]

por otro lado, se calcula A        =?

—1                 1 √2        1 √2   [pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

...