Matriz inversa
Enviado por Yorkis Sanmartin • 10 de Septiembre de 2021 • Apuntes • 419 Palabras (2 Páginas) • 54 Visitas
MATRIZ INVERSA
Si A es una matriz cuadrada de dimensión nxn y es regular (su determinante es distinto de 0), entonces existe una matriz llamada matriz inversa de A,, tal que[pic 1]
es de dimensión nxn [pic 2]
es el inverso multiplicativo de A por ambos lados, es decir :[pic 3]
[pic 4]
[pic 5]
Siendo la matriz identidad de dimensión nxn.[pic 6]
Su determinante es
[pic 7]
es única, es decir, es la única matriz que cumple las igualdades del segundo punto.[pic 8]
CALCULO MEDIANTE GAUS
Dada una matriz A cuadrada de dimensiones nxn y regular, definimos la matriz por bloques formada por la matriz A y la matriz (matriz identidad de dimensión nxn).[pic 9]
[pic 10]
Por ejemplo, si A es dimensión 2x2,
[pic 11]
Y si es dimencion 3x3,
[pic 12]
Para calcular la matriz inversa de A, se realizan operaciones elementales fila para conseguir laa forma escalonada reducida de la matriz G.
Dicho en otras palabras, se realizan operaciones elementales filas hasta conseguir la matriz identidad en el bloque izquierdo de la matriz G es decir,
[pic 13]
Al terminar las operaciones, la matriz identidad que había en el lado derecho se ha transformado en otra matriz B. esta matriz B es precisamente la matriz inversa de A.
Ejemplo:
[pic 14]
[pic 15]
Construimos la matriz por bloques:
[pic 16]
Para obtener su matriz de identidad del lado izquierdo se le resta 4 veces la fila 2.[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
Como ya tenemos la identidad en el lado izquierdo, la del lado derecho es la inversa.
[pic 22]
MATRIZ ADJUNTA O DE COFACTORES
En este método tenemos que aplicar la formula
[pic 23]
Es decir, la matiz inversa de A es la matriz transpuesta de la matriz adjunta dividida entre el determinante de A.
Nota: hemos llamado a la matriz adjunta de A.[pic 24]
la matriz adjunta de A tiene la misma dimensión que A y se calcula con determinantes de submatrices:
El elemento de la posición fila i y la columna j de la matriz adjunta de A es
[pic 25]
Siendo la submatriz de A obtenida al eliminar la fila i y la columna j de A.[pic 26]
Ejemplo:
[pic 27]
Calculamos la matriz inversa de A. como la dimensión es 2x2, tenemos que calcular determinantes de nivel 1.
El elemento de la posición (1,1)
[pic 28]
El elemento de la posición (1,2)
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