La inversa de una matriz

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Alumno: Marco Uriel Martinez Bojorges

Materia: Algebra Lineal

Tema: La inversa de una matriz

Maestra: Blanca Ivette Torres Campos

Fecha: 2/3/2023

Introducción

En muchas ramas de la ciencia, la ingeniería y las matemáticas se utiliza la operación básica de inversión de matrices. Es especialmente importante para determinar vectores y valores propios, calcular determinantes y resolver sistemas de ecuaciones lineales. En esta investigación, veremos la idea de inversión de matriz y varios enfoques para determinar la inversa de una matriz.

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Descripción del problema:

Dada una matriz cuadrada A de tamaño n x n, necesitamos encontrar su inversa A^-1, si existe. La inversa de una matriz es una matriz que, multiplicada por la matriz original, da como resultado la matriz identidad.

Desarrollo del problema:

Para hallar la inversa de una matriz A, necesitamos resolver la ecuación Ax = I, donde I es la matriz identidad de tamaño n x n. Si A es invertible, entonces existe una única solución x, que es la inversa de A. Existen varios métodos para hallar la inversa de una matriz, entre ellos:

Método de eliminación de Gauss: Este método consiste en añadir la matriz identidad a A para formar una matriz aumentada [A | I], y luego realizar operaciones de fila en la matriz aumentada para transformar A en la matriz identidad, mientras se realizan las mismas operaciones de fila en I para obtener A^-1.

Método de descomposición LU: Este método consiste en descomponer A en el producto de dos matrices L y U, donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior. A continuación, resolvemos los dos conjuntos de ecuaciones lineales Ly = I y Ux = y para obtener A^-1.

Método adjunto: Este método consiste en hallar el adjunto de A, que es el transpuesto de la matriz de cofactores de A. La inversa de A se obtiene entonces dividiendo el adjunto de A por el determinante de A.

Solución:

Veamos un ejemplo para ilustrar la solución por el método de eliminación de Gauss:

Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz A = [2 3; 4 5].

Paso 1: Añadir I a A para obtener [A | I] = [2 3 | 1 0; 4 5 | 0 1].

Paso 2: Dividir la primera fila por 2 para obtener [1 3/2 | 1/2 0; 4 5 | 0 1].

Paso 3: Resta 4 veces la primera fila de la segunda fila para obtener [1 3/2 | 1/2 0; 0 -2 | -2 1].

Paso 4: Divide la segunda fila por -2 para obtener [1 3/2 | 1/2 0; 0 1 | 1 -1/2].

Paso 5: Restar 3/2 veces la segunda fila de la primera fila para obtener [1 0 | -1/2 3/4; 0 1 | 1 -1/2].

Por lo tanto, la inversa de la matriz A = [2 3; 4 5] es A^-1 = [-1/2 3/4; 1 -1/2].

Conclusión:

En conclusión, la inversión de matrices es un concepto esencial en álgebra lineal, y existen varios métodos para encontrar la inversa de una matriz, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de descomposición LU y el método adjunto. La elección del método depende de las propiedades específicas de la matriz, como su tamaño y estructura.

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