Algebra. Matriz Inversa

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL[pic 2][pic 3]

ÁLGEBRA LINEAL • SEMANA  04 CLASE  02

Semestre 2021-B        Departamento de Formación Básica[pic 4][pic 5]

2. SISTEMAS DE ECUACIONES

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1. Matriz Inversa

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EJEMPLO 1. Sean A ∈ Kn×n una matriz no singular y sean x, b ∈ Kn×1. Si Ax = b, entonces x = A−1b.

Solución. Por hipótesis sobre A se tiene que A−1 existe, entonces

Ax = b ⇐⇒ A−1(Ax) = A−1b        Multiplicando A−1 en ambos lados

⇐⇒ (A−1 A)x = A−1b        Propiedad asociativa

⇐⇒ Inx = A−1b        Definición de matriz inversa

⇐⇒ x = A−1b        Multiplicación por la matriz identidad[pic 9]

EJERCICIO 1. Sean A ∈ Kn×n una matriz no singular y sean x, b ∈ Kn×1. Si

x⊺ A2 + b⊺ A = 0, entonces x⊺ = −b⊺ A−1.

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[pic 11]

EJEMPLO 2. Sean A, X ∈ Kn×n matrices no singulares. Si AA⊺X−1 = A entonces

X = A⊺.

Solución. Supongamos que A y X son matrices no singulares y que AA⊺X−1 = A, vamos a mostrar que X = A⊺. Se tiene que

AA⊺X−1 = A ⇒ A−1(AA⊺X−1) = A−1 A        Multiplicando por A−1 en

ambos lados

⇒ (A−1 A)(A⊺X−1) = A−1 A        Propiedad asociativa

⇒ A⊺X−1 = In        Definición de matriz inversa

⇒ ((A⊺)−1 A⊺)X−1 = (A⊺)−1 In        Multiplicando por (A⊺)−1 en

ambos lados y propiedad asociativa

⇒ X−1 = (A⊺)−1        Definición de matriz inversa

⇒ X = A⊺        Teorema 2[pic 12]

EJERCICIO 2. Sean A, X ∈ Kn×n matrices no singulares tales que (A⊺)−1 + X−1

es no singular. Si 2((A⊺)−1 + X−1)−1 = A⊺, entonces X = A⊺.

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EJEMPLO 3. Sean A, B ∈ Kn×n tales que AB = In, entonces B2 A2 = In.

Solución. Supongamos que A, B ∈ Kn×n son tales que AB = In, se tiene que

B2 A2 = (BB)(AA)        Definición de A a la r

= B((BA)A)        Propiedad asociativa

= B(In A)        Hipótesis sobre AB y teorema 4

= BA        Multiplicar por In

= In        Hipótesis sobre AB y teorema 4[pic 15]

EJERCICIO 3. Sean A, B ∈ Kn×n tales que AB = In, entonces B3 A3 = In.

[pic 16]

EJEMPLO 4. Dada la matriz A =

!

2   1  , su inversa es A−1 =

1 1

!

1        −1

.

−1        2

Solución. Supongamos que A−1 existe, escribamos A seguido de I2 en la forma

de matriz aumentada

(A|I2) =

!

2   1        1   0[pic 17]

...