Matriz inversa

[pic 1]UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS, FÍSICAS Y MATEMÁTICA

CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

PROGRAMACION 2 

INFORME DE INVESTIGACIÓN

1. Resumen

La matriz inversa es aquella que al multiplicarse por la misma sin invertir nos da como resultado la matriz identidad, es decir, A • B = B • A = I (matriz identidad), está matriz inversa se la puede obtener mediante el método de Gauss Jordán.

Donde el requisito principal para calcularla es conocer sus propiedades, que son:

1. La matriz inversa si existe es única.

2. (A-1)-1 = A, es decir, la inversa de la inversa es la matriz inicial.

3. (A·B)-1 = B-1·A-1

4. |A-1| = 1 / |A|        

Vale recalcar que la condición única y necesaria para que exista la matriz inversa es que su determinante sea distinto de cero.

1. Introducción

Los conocimientos matemáticos son la base de la ingeniería, sin los cuales esta no tendría origen, siendo cada vez más importantes en nuestra vida diaria contemporánea.

 Es aquí, en el campo extraordinario de la matemática donde hallamos a las matrices que son de elemental importancia ya que nos permite el manejo de gran cantidad de datos y es esencial, no sólo para su uso en diferentes modelos matemáticos sino también para diversos métodos estadísticos.

En el actual informe nos enfocaremos en un tema básico de álgebra lineal como son las matrices inversas, donde debido a la amplia magnitud del tema, nos enfocaremos en establecer las bases y fundamentos del mismo para una profundización y aplicación posterior, por lo mismo trataremos:

• Definición
• Propiedades  
• Cálculo de la matriz inversa
• Aplicaciones de ésta a modelos matemáticos.

El cálculo de la matriz inversa no es un proceso sencillo. Por lo que lo trataremos desde el punto de vista de un método conocido como:

• Método de Gauss -Jordán

En éste se intenta, sin perder rigurosidad matemática, clarificar algunos conceptos para hacerlos accesibles.

1. Materiales y Métodos

Para la elaboración del informe de investigación se utilizaron las siguientes herramientas tecnológicas:

• El internet, dentro del cual encontramos artículos, blogs, libros virtuales, y sitios web que nos proporcionaron toda la información requerida.  

El método de investigación utilizado fue el método empírico ya que previamente teníamos conocimiento sobre matrices y mediante la observación nos permitió tener una precepción clara del tema, y el método experimental que a través de la observación y elaboración de ejemplos nos permitieron ver los errores y de igual forma solucionarlos.

1. Resultados

En el cálculo de una matriz inversa se emplean métodos tales como Gauss-Jordán o por determinantes, siendo el método de Gauss-Jordán el más recomendable para comprender la obtención de una matriz inversa, teniendo en cuenta la complejidad que implica Gauss-Jordán, en este método toma relevancia la matriz identidad, puesto que, se tiene que calcular a la matriz identidad, si se logra calcular la matriz identidad se dice que la matriz es invertible, caso contrario, no es invertible, además, existe una manera de poder comprobar si la matriz inversa que se obtuvo es correcta, esto es, multiplicar la matriz por su inversa y el resultado será la matriz identidad.

1. Discusión

En la actualidad el mundo de la información digital es sumamente extenso, debido a esto es posible encontrar casi todo tipo de información sin necesidad de requerir a libros, es aquí entonces donde rescatamos conocimientos, añadiendo los datos utilizados en semestres pasados, para concluir el método más sencillo para el cálculo de la matriz inversa, siendo este el método de Gauss Jordán. Identificando otros métodos posibles, pero mayormente dificultosos por lo que no son recomendables, a menos que se tenga un vasto conocimiento.

1. Conclusiones

-Las matrices inversas son un tema complejo, por lo que se requiere conocimiento previos matemáticos.

-El método más útil para calcular la matriz inversa es el método de Gauss Jordán, recordando que existen otros métodos mayormente complicados.

-La condición única para calcular una matriz inversa es que el determinante sea distinto de cero.

- Una matriz inversa no es invertible si en su diagonal principal existe un cero, para poder resolverla se debe intercambiar filas y columnas.

- Se puede resolver una matriz inversa también aplicando su definición.

1. Recomendaciones

• Para identificar si una matriz es invertible o no, resulta conveniente aplicar el método de determinantes, puesto que, por el método de Gauss-Jordán se debe realizar todo el proceso que implica la obtención de una inversa.
• Se puede encontrar situaciones en donde se tiene que evaluar un número considerable de variables, por lo que resulta conveniente emplear el método de Gauss-Jordán, debido a lo tedioso que resulta emplear el método de determinantes.

1. Referencias

• M. Ánzola y otros, Problemas de álgebra. (Especialmente tomos 1, 3, 6, 7) Madrid, 1981.
• J. de Burgos, Álgebra lineal. McGraw-Hill, 2000.
• P. Sanz y otros, Problemas de álgebra lineal. Prentice Hall, 1998.
• J. Flaquer y otros, Curso de álgebra lineal. Ediciones Universidad de Navarra, 1996.
• J. Rojo, Algebra lineal. McGraw-Hill, 2001.
• M. Castellet e I. Llerena, Álgebra lineal y geometría. Reverté, 1991.
• F. Ayres Jr., Teoría y problemas de matrices. McGraw-Hill, 1991.
• J. Rojo e I. Martín, Ejercicios y problemas de álgebra. McGraw-Hill, 1994.
• S. I. Grossman, Algebra lineal. McGraw-Hill, 1995.
• F. Granero, Álgebra y geometría analítica. McGraw-Hill, 1992.

1. ANEXOS (En medio digital)

1. Documentación de respaldo consultada, en formato digital

MATRIZ INVERSA

• Definición

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A-1, a la única matriz que cumple que:

[pic 2]

Es decir, la matriz inversa de A es la única matriz que al multiplicarla por ella obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente.

Entonces se dice que una matriz es invertible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular.

Nota : [pic 3]  debe interpretarse como la matriz inversa de A  y  no como  [pic 4].

• Cuando la matriz inversa no existe

La matriz inversa no siempre existe, para que exista, es necesario que el determinante de la matriz sea distinto de cero:

...