Matriz Inversa

Matriz inversa de orden 2 por el método de Gauss

Para obtener la matriz inversa de A se considera la matriz y se realizan aquellas operaciones elementales por filas que consigan transformar la matriz A en la matriz I, de esta forma la matriz I se habrá transformado en A. Es decir, se han de realizar operaciones elementales por filas de forma que (A|I)… (I|A).

Ejemplo: 1

Matriz

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2 Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.

F2 = F2 − F1

F3 = F3 + F2

F2 = F2 − F3

F1 = F1 + F2

F2 = (−1) F2

La matriz inversa es:

Ejemplo: 2

1) Calcular la matriz inversa de:

Por el método de Gauss-Jordán

2) Halla la inversa de las siguientes matrices aplicando la definición:

3) Halla, por el método de Gauss-Jordán, la matriz inversa de A:

4) Dada la matriz A:

a) Razona si puede existir una matriz B tal que AB = I, siendo I la matriz identidad. En caso afirmativo halla B.

b) ¿Tiene inversa A? Razona la respuesta.

5) Calcular la matriz inversa de:

Por el método de Gauss-Jordán

6) Calcula por el método de Gauss-Jordán la matriz inversa de las siguientes matrices:

7) Calcula por el método de Gauss-Jordán la matriz inversa de las siguientes matrices:

8) Comprueba que la inversa de la siguiente matriz:

Es la matriz:

9) Dadas las matrices:

Calcula (A-1)-1 y (B-1)•B

10) Sean las matrices

a) Comprueba que (A•B)-1= B-1•A-1

b) Calcula (B2)-1 , de la manera más rápida posible

11) Dada la matriz

Calcula (At•A-1)2•A

12) Considera la matriz:

Prueba que B = I + A + A2 es la matriz inversa de I - A, donde I es la matriz identidad de orden 3.

13) Considera la matriz:

Donde m∈IR. Determina para qué valores de m la matriz A es regular (inversible).

14) Consideremos la matriz A:

a) Averigua para que valores del parámetro m la matriz no tiene inversa

b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2

15) Se consideran las matrices:

Donde m es un número real. Encuentra los valores de m para los que A•B tiene inversa.

16) Se consideran las matrices:

Ejemplo: 3

Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

1. Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2. Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.

F2 − F1 F3 + F2

F2 − F3 F1 + F2

(−1) F2 La matriz inversa es:

Calculo del determinado de una matriz de orden 3 por el método de los cofactores

(Regla de Laplace)

Para encontrar un determinante de una matriz por el Teorema de Laplace se realiza lo siguiente:

1- Seleccione cualquier fila o columna de la matriz.

2- Encuentre al menor de edad de cada elemento

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