La matriz inversa

MATRIZ INVERSA:

Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que

A•B = B•A = I

Siendo I la matriz identidad.

Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por

Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular.

Ejemplo:

Supongamos que A= y B= entonces:

Puesto que AB = BA = I, A y B son inversibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Condición de inversibilidad :

El problema de encontrar elementos inversos para el producto de matrices tiene como primer inconveniente que, para empezar, no siempre dadas dos matrices A y B, que podamos hacer el producto A•B significa que podamos hacer el producto B•A .

Además, que dos matrices sean inversas una de la otra significa, en particular, que el producto ha de dar como resultado la matriz identidad. Si recordamos la definición, la matriz identidad es aquélla cuyos elementos son nulos salvo los de la diagonal, que son 1, y, además, esto es importante, dicha matriz es cuadrada. El hecho de que la matriz identidad sea cuadrada nos va a restringir mucho el conjunto de matrices para las que podremos hablar de inversión.

Vamos a ver qué primera condición han de cumplir dos matrices A y B para que sean la una inversa de la otra. Esto, como sabemos, significa que A•B = B•A = I, donde I denota a la matriz identidad. Las matrices serán, en principio, A de orden mxn y B de orden pxq.

Sin embargo, por definición del producto de matrices, se debe cumplir que n=p para poder hacer la multiplicación A•B. Sabemos, además, que esta matriz será de orden mxq. Pero también tenemos que poder hacer el producto B•A, lo que implica que debe ser m=q. Así pues, la matriz A será de orden mxn, y la matriz B será de orden nxm. El producto A•B será de orden mxm, y el producto B•A será de orden nxn. Además, ambos productos han de dar como resultado la matriz identidad, y ésta es cuadrada, lo que obliga a que m=n, es decir, a que para poder hablar de inversión de una matriz, la matriz ha de ser cuadrada. Sin embargo, es una condición necesaria pero no suficiente; esto es, no toda matriz que sea cuadrada tiene matriz inversa. No es la única condición que se exige a la matriz.

DETERMINANTES:

Si es una matriz 2 x 2 se define el determinante de la matriz A, y se expresa como det(A) o bien

|A|, como el número:

Ejemplo:

Para definir determinantes de matrices de orden mayor que 2 es necesario introducir previamente algunos conceptos.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el menor complementario de un elemento de , como el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la que se encuentra dicho elemento . Se representa por

REGLA DE CRAMER:

Es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).

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