Mecánica del sólido deformable - Método de los elementos finit.
Enviado por pebl0 • 21 de Diciembre de 2016 • Trabajos • 5.476 Palabras (22 Páginas) • 195 Visitas
[pic 1]
[pic 2]
1.-Obtener las funciones forma de los elementos 1 y 2.
Elemento 1
Nos encontramos con un elemento con dos nodos, por lo tanto es lineal e isoparamétrico, lo cual quiere decir que la función forma en giros y geometría es igual.[pic 3]
En la formulación débil sólo aparecen derivadas primeras por lo que las funciones aproximantes han de tener derivada continua en el interior de los elementos y, obviamente, han de ser continuas en todo el dominio, es decir, la aproximación debe ser como mínimo de clase C0.
La ecuación general a la que aplicaremos las CC es:
[pic 6][pic 4][pic 5]
Elemento 2
Tenemos tres nodos en la barra, lo cual implica que es cuadrático, pero en el enunciado nos dice que es subparamétrico por lo tanto:
-La geometría en lineal, por lo tanto son las mismas que en el apartado anterior:
[pic 7]
-Los giros en cuadrático por lo tanto en este caso la ecuación general de la que partimos será:
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
2.- Matriz de rigidez y vectores de carga
A partir de la formulación fuerte del modelo de torsión de Saint Venant obtendremos la formulación débil de forma similar a un problema de axil:
[pic 12]
Tras multiplicar por la función de aproximación e integrar por partes obtendremos:
[pic 13]
Considerando los límites de integración L y 0 nos queda:
[pic 14]
Las aproximaciones de los giros nos quedan para el elemento 1 y 2 respectivamente
[pic 15]
[pic 16]
Previamente al cálculo de la matriz de rigidez calculo el Jacobiano de cada elemento que nos relaciona las coordenadas naturales con las cartesianas, tomando L=1m.
Elemento 1
[pic 17]
El elemento 2 la tener una longitud de 2 L saldrá:
[pic 18]
La matriz de rigidez la calcularemos de forma matricial.
B=HN D=GJ[pic 19]
Debido a que tenemos una J variable la tendremos que introducir e integrar en nuestra matriz. Primero calculo la ecuación de J respecto de en cada elemento según la ecuación: (Tomaré )[pic 20][pic 21]
[pic 22]
Elemento 1
CC: [pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
Elemento 2
CC: [pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
Ahora ya podemos empezar con la integración de los términos de la matriz de rigidez de cada elemento.
Elemento 1
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
Elemento 2
[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
MATRICES DE RIGIDEZ
[pic 42]
[pic 43]
A continuación calculamos los vectores de carga de cada elemento.
Para el del elemento 1 utilizaremos:
[pic 44]
La ecuación del momento torsor para este elemento es:
Para [pic 45][pic 46]
Al no tener momentos puntuales el primer termino de la ecuación es 0. Integrando obtenemos
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
Para el elemento 2 utilizaremos:
[pic 50]
La ecuación del momento torsor para este elemento es:
Para [pic 51][pic 52]
Al no tener momentos puntuales el primer termino de la ecuación es 0. Integrando obtenemos
[pic 53]
En este nodo sí que tenemos un momento puntual M=1e5 , por lo tanto[pic 54]
[pic 55]
En este tampoco tenemos puntuales.
[pic 56]
[pic 57]
3. Ensamblaje matriz de rigidez y vector de cargas
=[pic 58][pic 59]
[pic 60]
4. Imponer condiciones de apoyo
[pic 61]
[pic 62]
Sustituimos las ctes [pic 63]
Aplicamos las condiciones de apoyo. [pic 64]
[pic 65]
5. Calculo de giros nodales. Evaluar giro en x=1,5 m
Para calcular los giros nodales solo tengo que resolver dos ecuaciones con dos incógnitas de las matrices anteriores. Sobre todo tenemos que haber aplicado las condiciones de contorno previamente.
[pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
Para evaluar en el punto x=1.5m utilizaremos la aproximación de los giros para el elemento :
[pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
Se toma el valor de que le corresponda al punto en x, en nuestro caso será del segundo elemento.[pic 73][pic 74]
[pic 75]
[pic 76]
6. Dibujar el Momento torsor y el giro.[pic 77]
Giro para el primer elemento
[pic 78]
Giro en el segundo elemento
[pic 79]
Tras hacer la correspondiente correlación con las coordenadas cartesianas y tomando como origen de coordenadas el nudo 1, he calculado con Excel la siguiente gráfica para nuestro giro en radianes y x en metros:
[pic 80]
Momento torsor en el primer elemento:
[pic 81]
[pic 82]
El momento torsor en el segundo elemento :
[pic 83]
[pic 84]
[pic 85]
7. MEFI
En este último apartado hemos optado por la resolución del ejercicio mediante el programa de elementos finitos MEFI. Al no poder resolverse un problema a torsión en MEFI, se asemeja a uno de axil, siendo la E nuestra G y la A nuestra J. Ya que no le podemos introducir una propiedad variable hemos discretizado nuestra barra en 30 elementos y a cada uno le hemos ido dando un valor distinto para J, asemejando el efecto de una función lineal.
...