INTRODUCCION AL METODO DE ELEMENTOS FINITOS

[pic 1]

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[pic 3]

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Por ensamblaje de las matrices y vértices anteriores según la tabla de conectividad se obtiene:

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b) En el problema las dos condiciones de contorno son esenciales.

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[pic 9]

En la aplicación de estas dos condiciones mediante el método de eliminación se eliminan de la matriz de rigidez las filas y columnas correspondientes a los desplazamientos especificados, en este caso los nudos 1 y 4. Lo mismo se hace en el vector de cargas  para las filas 1 y 4. Además, al ser distinto de cero el desplazamiento en el nudo 4, la anulación de la columna 4 de  exige añadir al vector de cargas aquellas aportaciones no nulas debidas a ese desplazamiento. Se tiene el sistema:[pic 10][pic 11]

[pic 12]

Que resuelto da:

[pic 13]

[pic 14]

c) El cálculo de las reacciones en los nudos 1 y 4 es directo usando (3.38). Se tiene:

[pic 15]

[pic 16]

Sustituyendo los valores de los desplazamientos nodales resulta:

[pic 17]

[pic 18]

La suma de estos dos valores iguala, excepto errores de redondeo, la carga total aplicada sobre la barra.

d) La obtención de los esfuerzos elementales es inmediata por aplicación de (3.18) a partir de la aproximación de los desplazamientos en cada elemento. Se tiene:

• Elemento 1

[pic 19]

• Elemento 2

[pic 20]

• Elemento 3

[pic 21]

Ejemplo 3.10.  Resolver el ejercicio anterior empleando el método de penalización para imponer las condiciones de contorno esenciales.

Solución: Se parte de la misma matriz de rigidez global y del mismo vector de carga global del ejercicio anterior. Al estar impuestos los desplazamientos en los nudos 1 y 4, se agrega un número grande X a los elementos de la diagonal de la primera y cuarta filas. Suponemos por ejemplo, X = . En las filas 1 y 4 del vector de cargas se añade a las cargas equivalentes este mismo número multiplicado por el valor de los desplazamientos impuestos en los nudos 1 y 4, respectivamente. El sistema de ecuaciones resultante queda como:[pic 22]

[pic 23]

Que resuelto da:

[pic 24]

Según (3.39) las reacciones coinciden con las fuerzas ejercidas por los muelles de rigidez X sobre la estructura. Se tiene:

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[pic 26]

El cálculo de los esfuerzos es similar al ejercicio anterior tomando los valores de la expresión (b).

Problema 3.7. Considerar el problema del ejemplo 3.9 con la siguiente modificación: el nudo 4, de desplazamiento desconocido, se halla apoyado sobre un muelle elástico de constante  conocida (figura 3.15). El valor del desplazamiento en el apoyo derecho también es conocido. Plantear el sistema de ecuaciones que permite obtener los desplazamientos nodales desconocidos empleando.[pic 27][pic 28]

1. El método de eliminación
2. El método de penalización

[pic 29]

Ejemplo 3.11. La barra de la figura 3.16 se modeliza con tres elementos de dos nudos longitudes respectivamente. Sobre la misma se tienen las siguientes condiciones de contorno[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

Desarrollar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la estructura modificada con las condiciones de contorno del problema.

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Solución: operando con funciones de forma lineales se obtienen las matrices de rigidez y el vector de cargas elementales.

• Elemento 1

[pic 34]

• Elemento 2

[pic 35]

• Elemento 3

[pic 36]

Ensamblando se obtienen la matriz de rigidez global y el valor de cargas global.

[pic 37]

[pic 38]

Para aplicar las condiciones de contorno se va a aplicar el método de eliminación. La inclusión de la condición en el nudo 1 es inmediata siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo 3.9. La inclusión de la segunda condición, se lleva a cabo eliminando la cuarta fila y la cuarta columna de y reorganizando el sistema de ecuaciones resultante mediante la imposición de esa condición queda:[pic 39][pic 40]

[pic 41]

Problema 3.8. Resolver el ejercicio anterior empleando el método de penalización para imponer las siguientes condiciones de contorno:

[pic 42]

[pic 43]

Problema 3.9. La estructura de la figura 3.17 consiste en una barra horizontal infinitamente rígida de masa despreciable soportada por dos barras verticales de aluminio (E = 70.. Tomando un mallado de dos elementos finitos lineales determinar:[pic 44]

1. Las condiciones del contorno del modelo
2. Los esfuerzos en los elementos

[pic 45]

Ejemplo 3.12. Se tiene una pared constituida por dos muros de ladrillo separados por un muro de un material aislante (figura 3.18). La temperatura exterior del muro es de 20°C mientras que la anterior es de 50°C. Determinar la distribución de temperatura para todos los puntos de la pared.

[pic 46]

Solución: El problema se puede tratar en una dimensión. En la pared inferior de la figura 3.18 se muestra el mallado constituido por tres elementos, uno por cada material. La determinación de la matriz de rigidez global se obtiene por ensamblaje de las correspondientes matrices elementales las cuales se calculan a partir de las funciones de base definidas en (3.11), (3.12) y (3.13)

• Elemento 1

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Suponiendo una sección transversal unitaria para cada elemento se tiene:

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[pic 49]

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• Elemento 2

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[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

• Elemento 3

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[pic 58]

Ensamblando (b), (d) y (f) se obtiene el sistema de ecuaciones resultante

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Siendo  la cantidad de calor aplicada en los nudos 1 y 4, respectivamente, para mantener su temperatura a 50°C y 20°C. Representan el equivalente a las reacciones en problemas mecánicos.[pic 60]

Aplicando el método de eliminación en (g) se llega al sistema

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Que resuelto da:

[pic 62]

[pic 63]

el cálculo de es ya inmediato a partir de (g)[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

Problema 3.10. Resolver el problema del ejemplo anterior con la siguiente modificación:

1. La cara interna del muro experimenta transmisión de calor por convención siendo el coeficiente de convección 65 W/C ya la temperatura del medio circundante es de 100° C.[pic 67]

3.5. SISTEMAS DE COORDENADAS LOCALES Y GLOBALES

El ensamblaje en problemas de potencial, como los dos de transmisión de calor, en los que la variable de estado es un escalar es inmediato a partir de las matrices elementales. Sin embargo, en problemas mecánicos la variable de estado, que es el desplazamiento, tiene una dirección siendo por tanto una condición necesaria para llevar a cabo el ensamblaje que todos los elementos se refieran a un sistema de coordenadas común.

En todos los ejemplos mecánicos vistos hasta ahora se han considerado estructuras constituidas por barras con la misma orientación. Sin embargo, en el caso de las cerchas estas barras se combinan entre si adoptando distintas orientaciones. En ese caso es preciso realizar previamente una transformación de coordenadas antes del ensamblaje a fin de referir todos los desplazamientos y esfuerzos de las barras a un sistema de referencia común. Por ello, se distingue entre los sistemas de referencias locales en cada elemento y un sistema global donde se realiza el ensamblaje y, por tanto, se resuelve problema.

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