Metodo Cientifico

Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo )

Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de

en que gira cada vector

un ángulo , para obtener un vector

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que

y

tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación

tal que

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo

y es lineal, ya que:

Ejemplo 8. (Reflexión sobre el eje x)

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en que cada vector

lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x)

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en que a cada vector

lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector

. En una gráfica, vemos la situación como sigue:

También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal. Consideremos el siguiente subespacio de

:

Vemos que éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien,

tiene un complemento directo, a saber,

De tal forma que cada vector

se escribe en forma única como suma de un vector de

más un vector de

como sigue:

Notamos que la proyección sobre el eje x, manda a

sobre , el cual es precisamente el término correspondiente a en la descomposición anterior!

Todo esto nos induce a definir proyecciones sobre subespacios en general como sigue:

Definición. Sea V un espacio vectorial y sea

un subespacio tal que existe

el complemento directo de

en V, es decir tal que

, de tal forma que cada vector

se escribe en forma única como:

Con

y

.

Definimos entonces la proyección sobre

, como aquella transformación

tal que

Lo primero que observamos es que esta transformación es lineal, ya que si

,

con

y

, entonces

...