Minimizar el error de interpolación considerando las raíces del polinomio de Chebyshev
Enviado por hollety • 8 de Diciembre de 2015 • Apuntes • 2.814 Palabras (12 Páginas) • 157 Visitas
Minimizar el error de interpolación considerando las raíces del polinomio de Chebyshev
Stefano Nasini
Dept. of Statistics and Operations Research
Universitat Politécnica de Catalunya
Un polinomio de interpolación es un polinomio que pasa exactamente a través de un conjunto dado de puntos. Supongamos que lo que se quiere es buscar un polinomio de grado finito que aproxime una función dada. Lo que resulta intuitivo es buscar que dicho polinomio tenga el mismo valor de la función en un conjunto de puntos dado.
Sabiendo que por n puntos pasa un único polinomio de grado n‐1, podríamos argumentar que la única manera de buscar una aproximación mejor del polinomio a la función es la de escoger de formas distintas los puntos por los cuales el polinomio ha de pasar.
Dada una función f de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas x0,x1,...,xm, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio pm(x) de grado menor o igual a m, cumpliendo pm(xk) = f(xk) por cada k = 1, . . ., m.
Los coeficientes a0 , a1, a2, . . ., an, de dicho polinomio se obtiene imponiendo al polinomio de pasar por los puntos fijados.
1
n | n 1 | |
x0 | x0 | |
x n 1 | ||
x n | ||
1 | 1 | |
x n 1 | ||
x n | ||
n | n |
x0n 2 | x0 | |
x n 2 | x | |
1 | 1 |
- nn 2 xn
1 an | y0 | ||||||
1 an 1 | y1 | ||||||
(1) | |||||||
1 a | 0 | y | |||||
n |
Este sistema es compatible determinado y a la matriz asociada se le suele denominar matriz de Vandermonde. La complejidad computacional para invertir la matriz es de O(n3). Por esta razón, han sido construido diferentes algoritmos que aprovechan de la particular estructura de de este sistema que reducen la complejidad a O(n2), como el método de las diferencias divididas de Newton o el método de Lagrange.
En este último caso, el polinomio, el polinomio interpolador de grado n de Lagrange es un polinomio de la forma
f l | (x) ; n m | [2] |
j j | ||
j {0...k} |
donde lj(x) son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo:
l | (x) | x xi | (x x0 )(x x1 ) (x x j 1 )(x x j 1 ) (x xn ) | [3] | |||
j | x j xi | (x j x0 )(x j x1 ) (x j x j 1 )(x j x j 1 ) (x j xn ) | |||||
j i |
Hagamos un ejemplo de polinomio interpolador de grado n de Lagrange. Se quiere hallar el valor de la función f(x) = exp(x+1) utilizando un polinomio interpolador de Lagrange de grado 2 que pase por los tres puntos (0,f(0), (0.5,f(0.5)), (1,f(1)).
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