Raices De Un Polinomio

Raíces de un polinomio

Polinomios

Un polinomio es una suma de términos llamados monomios.

Un monomio es el producto de un coeficiente (un número real), una variable (casi siempre x o y) elevada a un exponente (entero positivo).

Existen polinomios con uno, dos o más términos, por ejemplo:

o Monomio (un término):

5 x2 En este caso el coeficiente es 5, la variable es x el exponente 2

o Binomio (dos términos):

6 x7 - 2

o Trinomio (tres términos):

3 x5 + 4 x3 - x2

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio es igual al exponente mayor de la variable. Por ejemplo:

5 x2 Es un polinomio de grado 2

6 x7 - 2 Es de grado 7

3 x5 + 4 x3 - x2 Es de grado 5

2 x4- x3 - x2 ¿De qué grado es?

6 x5 - 4 x2 - 19 x ¿De qué grado es?

3 x15 + x13 - x2 ¿De qué grado es?

13 ¿De qué grado es?

Raíces de un polinomio

La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polimonio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.

Por ejemplo el polinomio

f(x) = x2 + x - 12

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:

x2 + x - 12 = 0 Igualando a cero.

(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.

x = - 4 Solución 1

x = 3 Solución 2

Inverso de un número complejo

Sea z=(a,b) y consideramos . Si calculamos z•z' tenemos:

es decir z' es el inverso de z.

Cuando a2 + b2 = 0 no tiene sentido z', pero esto ocurre porque si a2 + b2 =0 entonces a=0 y b=0, o sea que z=(0,0)=0, y 0 no tiene inverso porque no se puede dividir por 0.

Conjugado de un número complejo

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:

Propiedades de los conjugados

• Primera propiedad

El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Demostración:

En efecto si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z

• Segunda propiedad

Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Esto se expresa escribiendo que

Demostración:

Tomando z = a + bi y z' = c + di , se tiene:

= a + bi y ' = c - di , con lo que + ' = (a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i

Por otra parte:

y es fácil ver que esta expresión coincide con la anterior.

• Tercera propiedad

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

Demostración:

Si z = a + bi y z = c + di se tiene que z • z = (ac - bd ) + (ad + bc)i , cuyo conjugado es = (ac - bd) - (ad + bc)i .

Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que

• ' = (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .

El resultado es igual al anterior.

• Cuarta propiedad

Los complejos

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