Modelado y Simulación de Sistemas Complejos

 Modelado y Simulación de Sistemas Complejos

Máster en Ingeniería Matemática UC3M Curso 2012

Lino Gustavo Garza Gaona

Problemas Sesión 1

1.         (Analítico). En un modelo para la propagaci—n de una enfermedad infecciosa llamaremos infeccioso a un individuo infectado que puede transmitir la enfermedad y susceptible a un individuo infectado que puede adquirir la enfermedad por contacto de un infeccioso. Asumamos que los infecciosos en el brote de una enfermedad dada (digamos una gripe) pueden particionarse en generaciones como sigue: La generaci—n 0 consiste en los casos introductorios, esto es, los infecciosos iniciales; la generaci—n 1 consiste de susceptibles que han sido infectados por los infecciosos de la generaci—n 0; la generaci—n 2 consiste en susceptibles infectados por infecciosos de la generaci—n 1 y as’. Consideremos una poblaci—n creciente con S (t) susceptibles e I(t) infecciosos en tiempo t > 0, donde S (0) + I(0) = N. Si el par‡mero de infecci—n es igual a 1 y si λ denota el par‡mero de crecimiento, las ecuaciones que determinan la evoluci—n temporal de S e I en este modelo epidŽmico simple son:

dS

= −SI + λS,         (1)dt dI

= SI + λI.         (2)dt

Encuentre la soluci—n de este sistema. Indicaci—n: Encuentre una ecuaci—n para S (t) + I(t).

Solución.

Sumamos las expresiones (1) y (2) y obtenemos

d(S + I)

= λ(S + I).

dt

Resolvemos usando separaci—n de variables

d(S + I) = λdt

(S + I) ln (S + I) = λt + c

(λt+c)

S + I = e

S + I = ceλt .

Ahora aplicamos la condici—n inicial (en t = 0) y obtenemos el valor para c, S (0) + I(0) = ce0 ⇒ N = c.

Luego ya tenemos la expresi—n para S + I

S (t) + I(t) = Neλt .

Podemos despejar S (t) y sustituirlo en (2), con lo que obtenemos

dI         = I(Neλt − I) + λI.

dt

dI

Llamaremos I' a y tenemos la siguiente ecuaci—n

dt

I' = INeλt + λI − I2 I2 = I(Neλt + λ) − I' que es una ecuaci—n diferencial de Bernoulli; para resolverla, multiplicamos por I−2 y obtenemos I−1(Neλt + λ) − I'I−2 = 1. I−1 '

Si llamamos v = ⇒ v= −I'I−2 y tenemos la siguiente ecuaci—n diferencial '

v+ v(Neλt + λ) = 1.

La soluci—n a esta ecuaci—n viene dada por

u(t)dt

v(t) =,

u(t)

(Neλt +λ)dt

donde u(t) = e.

Para resolverla calculamos el factor integrante

Neλt

+λt

(Neλt +λ)dt λ

e= e.

Luego podemos encontrar v(t)

u(t)dt

v(t) =

u(t)

e Neλλt +λtdt

=

Neλt

+λt

e λ

λ

e Neλteλtdt

=.

Neλt

+λt

e λ

Neλt

Tomamos la integral del numerador y llamamos y = ⇒ dy = Neλtdt y la integral nos queda

λ

11

eydy = ey + c.

NN Volvemos y sustituimos en la expresi—n de v(t)

1

N ey + c

v(t) =

Neλt

+λt

e λ

Neλt

λ

N 1 e + c

v(t) =

Neλt

+λt

e λ

−λt +λt)

λ

e+ Nce−( Neλt

v(t) = .

N

Luego, recordando que v(t) = I−1, obtenemos I y despuŽs sustituimos para encontrar S y nos queda

N

I         = ,

eλt +λt)

λ

e−λt + Nce−( N

−λteλt +λt)]−1

S = Neλt − [e+ Nce−( N λ.

2.         (Modelado). Hemos visto que el modelo de predador-presa de Lotka-Volterra asume que en ausencia de predadores, la poblaci—n de presas, denotada por H, crece exponencialmente, y a la vez, en ausencia de presas, los predadores mueren de hambre, y su poblaci—n, denotada por P decrece exponencialmente. Como resultado de la interacci—n entre las dos especies, H decrece y P crece en una raz—n proporcio nal a la frecuencia de encuentros predador-presa. Los carro–eros juegan un papel importante dentro de los ecosistemas, nosotros deberemos generalizar el modelo Lotka-Volterra e introduciremos una tercera especie: los carro–eros. Asumiremos que los carro–eros no tienen impacto sobre los predadores o sus presas, pero que esta especie, S , morir‡ exponencialmente en ausencia de cualquier otra especie y se beneficiar‡ directamente en proporci—n del nœmero de muertes de H y P que ocurran naturalmente, as’ como las causadas por la predaci—n de P sobre H.

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