Modelos Matemáticos

Modelos matemáticos para estimar el crecimiento del fruto de chile manzano (Capsicum pubescens R y P)

Mathematical models for estimating fruit growth in apple pepper (Capsicum pubescens R and P)

P. C. Rojas–Lara1*, M. Pérez–Grajales2, M. T. B. Colinas–León2, J. Sahagún–Castellanos2 y E. Avitia–García2

1 Academia de Biología. Universidad Autónoma de la Ciudad de México. Plantel Centro Histórico. Fray Servando Teresa de Mier Núm. 92 y 99, Col. Obrera. Delegación Cuauhtémoc. Tel. 5134–9804. Correo–e: pablo.rojas@uacm.edu.mx (*Autor responsable).

2 Departamento de Fitotecnia. Universidad Autónoma Chapingo. Km. 38.5 Carretera México–Texcoco. Chapingo, Estado de México, C. P. 56230. México. Correo–e: perezgm7@yahoo.com.mx

Recibido: 29 de agosto, 2007 
Aceptado: 30 de abril, 2008

Resumen

El híbrido intervarietal de chile manzano (Capsicum pubescens R y P) Puebla x Zongolica es de alto rendimiento por su volumen, grosor de pericarpio y peso de fruto. El rendimiento se explica principalmente por el tamaño del fruto, siendo recomendable conocer la dinámica del crecimiento del mismo. Normalmente su análisis se realiza por medio de muestreos destructivos, lo que hace imposible utilizar el mismo fruto durante el ciclo de cultivo, además la competencia entre los órganos de la planta disminuye su tamaño y peso, afectando negativamente la calidad y rendimiento. Por lo cual el estudio del crecimiento a través de modelos matemáticos utilizando variables no destructivas permite proponer un manejo adecuado del cultivo. Por esta razón se propuso evaluar e identificar modelos matemáticos que describan el crecimiento del fruto, sin realizar muestreos destructivos. Se evaluaron los modelos: regresión lineal simple, regresión lineal múltiple y cuatro modelos no lineales. Con la hipótesis de que alguno de los seis modelos estudiados, explica eficientemente dicho crecimiento por medio de la variable independiente volumen de agua desplazada. Las plantas de chile se cultivaron bajo un sistema de producción intensivo, en 2004 y 2005. La variable dependiente fue el peso fresco de fruto y las variables independientes fueron: tiempo de crecimiento del fruto, longitud, ancho promedio de los hombros del fruto, volumen de agua desplazada y volumen del mismo. Se encontraron diferencias significativas entre las medias de las variables evaluadas en los dos periodos de muestreo (P≤0.05). Los modelos que mejor explican el crecimiento del fruto son: regresión lineal simple (sólo en el 2004) en función del volumen de agua desplazada y el volumen de fruto, el modelo de regresión lineal múltiple describe adecuadamente dicho crecimiento utilizando además de las variables anteriormente mencionadas, el tiempo de crecimiento, la longitud y el ancho promedio, tanto en el 2004 como en el 2005. Sin embargo, el monomolecular (en ambos periodos de muestreo) estima de una manera sencilla y precisa el peso fresco del fruto utilizando una sola variable no destructiva, ya sea, el volumen de agua desplazada o el volumen, por lo que este modelo es el más práctico para la descripción del crecimiento del fruto del chile manzano.

Palabras clave: regresión lineal simple, regresión lineal múltiple, modelo monomolecular, modelos no lineales.

INTRODUCCIÓN

El sistema de producción intensivo del chile manzano (Capsicum pubescens R y P) bajo condiciones de invernadero, en México, emplea altas densidades de población (18,000 plantas·ha–1) (Pérez et al., 2004) y cuenta con variedades cuyos atributos son superiores a los de las variedades criollas. El híbrido intervarietal de chile manzano Puebla x Zongolica, generado por Pérez et al. (2004) tiene gran volumen (70 ml), grosor de pericarpio (0.52 cm) y rendimiento por planta (2687 g·planta–1 por ciclo). La mayor demanda de este híbrido intervarietal es favorecida por el tamaño promedio de sus frutos, respecto a sus progenitores, más que por el número de frutos por planta. Es decir, el rendimiento del fruto se explica principalmente por su tamaño y peso, por tal motivo es de gran interés conocer las variables que explican el crecimiento del mismo. No obstante, en este cultivo hay problemas aún sin resolver: por ejemplo, la competencia entre el tallo, las hojas y las raíces de la planta por los fotoasimilados, así como el elevado número de frutos por planta disminuyen el tamaño y peso de los mismos, afectando negativamente su calidad y rendimiento. Por lo cual el estudio de su crecimiento a través de modelos matemáticos permite proponer un manejo adecuado del cultivo.

Para el análisis de crecimiento del fruto normalmente se realizan muestreos destructivos, por lo que no es posible utilizar el mismo fruto durante todo el periodo de producción; la descripción de procesos biológicos como el antes mencionado se puede efectuar por medio de un modelo matemático empleando variables no destructivas.

Montgomery (1991) propone que los modelos matemáticos son más concisos y menos ambiguos; esto, junto con la disponibilidad de reglas que se pueden usar mecánicamente, permite describir situaciones más complejas, con menos esfuerzo, y con menos riesgo de confusión. Frecuentemente, los métodos de regresión se utilizan para analizar datos que provienen de experimentos que no fueron diseñados o en donde no se puede tener control sobre la variabilidad.

Las funciones de regresión lineal simple y múltiple son adecuadas para modelar una amplia variedad de relaciones entre variables respuesta y variables predichas. El coeficiente de determinación (R2) se usa para juzgar la adecuación del modelo de regresión lineal simple y en la regresión lineal múltiple además se utiliza el coeficiente de colinealidad C(p).

La regresión no lineal sirve para describir sistemas biológicos y físicos (Rebolledo, 1994). Ostle (1986) y Montgomery (1991), propusieron, que si el modelo lineal no es el adecuado, se debe considerar el ajuste de algún modelo no lineal. Para Rodríguez (1989) y, Graybill e Iyer (1994), los modelos que parecen ser no lineales pueden convertirse en lineales utilizando alguna transformación apropiada de la variable respuesta, las variables de predicción, los parámetros, o la combinación de éstos. Algunos modelos no lineales incluyen al logístico, exponencial, Michaelis–Menten y el monomolecular.

El modelo logístico puede expresar adecuadamente el crecimiento o desarrollo en función del tiempo, que se caracteriza por tener forma sigmoidal, un punto de inflexión y dos asíntotas, una superior y otra inferior (Calvo et al., 1994). El modelo exponencial es válido para crecimientos o decrecimientos continuos en los que las condiciones son siempre favorables. El modelo de Michaelis–Menten se ha utilizado para describir el comportamiento de algunas poblaciones de insectos. El modelo monomolecular puede ser aplicado en agronomía, medicina y veterinaria, entre otras áreas.

Westwood (1982) y Ostle (1986) establecen que el crecimiento del fruto depende del incremento en volumen o peso, y que si se desea tener precisión en su determinación, se recomienda cuantificar el volumen de agua desplazada por el fruto, en tanto que, al diámetro lo consideraron una mala medida de crecimiento del fruto, ya que no hay una relación lineal con el volumen o el peso del mismo.

Tradicionalmente se tiene definido el largo y ancho como constantes del crecimiento de los frutos; el crecimiento del fruto puede determinarse con la técnica convencional, que consiste en medir el volumen de agua desplazada, o bien, mediante una ecuación matemática que permite estimar el volumen en cualquier etapa de su crecimiento (Guzmán et al., 1996). El volumen del fruto se puede representar con pocos parámetros y facilita las comparaciones entre distintas situaciones suministrando un estándar de comportamiento ideal con referencia al cual se puede juzgar y medir la realidad.

La hipótesis establecida en este estudio es que hay un modelo matemático que describe mejor el crecimiento del fruto de chile manzano y que el volumen de agua desplazada en una probeta cuando se sumerge el fruto es la variable de muestreo no destructivo de mayor utilidad para dicho modelo.

Se probaron seis modelos matemáticos (regresión lineal simple, regresión lineal múltiple, logístico, exponencial, Michaelis–Menten y el monomolecular) para analizar el crecimiento del fruto del chile manzano, sin hacer muestreos destructivos, con el propósito de identificar uno o varios de ellos que expliquen dicho crecimiento de manera similar a lo propuesto en durazno (Prunus persica, L. Batsh.) (Espinoza et al., 1998) y en naranjo (Citrus sinensis var. Valencia Late) (Avanza et al., 2004). Donde los autores usaron variables explicativas como el largo, ancho a la altura de los hombros del fruto, volumen, volumen de agua desplazada y peso fresco del fruto.

MATERIALES Y MÉTODOS

En el presente estudio, se utilizaron plantas del híbrido intervarietal Puebla x Zongolica que fueron cultivadas en condiciones de invernadero en Chapingo, Estado de México. Se usó el sistema de producción intensivo propuesto por Pérez y Castro (1998) que incluye la fertirrigación con la solución nutritiva universal de Steiner, reducción del nivel de irradiación a 60%, temperatura promedio entre 18 y 20 °C, cultivo de las plantas en bolsas de polietileno blanco de 40 x 45 cm con tezontle rojo como sustrato y separación entre plantas de 50 cm, 160 cm entre hileras y entutorado.

El estudio del crecimiento del fruto se llevó a cabo en dos años (2004 y 2005). En el 2004 se utilizaron 245 plantas como población total y se evaluó el crecimiento de una muestra

...