Modelos Matematicos

2.1 Pasos generales y técnicas de la construcción de modelos

matemáticos.

¿Qué son los modelos determinísticos?

Los problemas de toma de decisiones se pueden clasificar en dos

categorías: modelos de decisión determinísticos y modelos de decisión

probabilísticos. En los modelos determinísticos, las buenas decisiones se

basan en sus buenos resultados. Se consigue lo deseado de manera

"determinística", es decir, libre de riesgo. Esto depende de la influencia que

puedan tener los factores no controlables, en la determinación de los

resultados de una decisión y también en la cantidad de información que el

tomador de decisión tiene para controlar dichos factores.

¿Qué son los modelos?

Aquellos que manejan y controlan sistemas de hombres y equipos se

enfrentan al problema constante de mejorar (por ejemplo, optimizar) el

rendimiento del sistema. El problema puede ser reducir el costo de operación y

a la vez mantener un nivel aceptable de servicio, utilidades de las operaciones

actuales, proporcionar un mayor nivel de servicio sin aumentar los costos,

mantener un funcionamiento rentable cumpliendo a la vez con las

reglamentaciones gubernamentales establecidas, o "mejorar" un aspecto de la

calidad del producto sin reducir la calidad de otros aspectos. Para identificar la

mejora del funcionamiento del sistema, se debe construir una representación

sintética o modelo del sistema físico, que puede utilizarse para describir el

efecto de una variedad de soluciones propuestas.

Un modelo puede considerarse como una entidad que captura la esencia

de la realidad sin la presencia de la misma. Una fotografía es un modelo de la

realidad ilustrada en la imagen. La presión arterial puede utilizarse como un

modelo de la salud de una persona. Una campaña piloto de ventas puede

utilizarse como un modelo de la respuesta de las personas a un nuevo

producto. Por último, una ecuación matemática puede utilizarse como un

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modelo de la energía contenida en un determinado material. En cada caso, el

modelo captura algún aspecto de la realidad que intenta representar.

Ya que un modelo sólo captura determinados aspectos de la realidad, su

uso puede no ser apropiado en una aplicación en particular porque no captura

los elementos correctos de la realidad. La temperatura es un modelo de las

condiciones climáticas pero puede ser inapropiado si uno está interesado en la

presión barométrica. Una foto de una persona es un modelo de la misma pero

brinda poca información acerca de sus logros académicos. Una ecuación que

predice las ventas anuales de un producto en particular es un modelo de ese

producto pero tiene poca utilidad si lo que nos interesa es el costo de

producción por unidad. Por lo tanto, la utilidad del modelo depende del aspecto

de la realidad que representa.

Un modelo puede ser inadecuado aun cuando intenta capturar los

elementos apropiados de la realidad si lo hace de una manera distorsionada o

sesgada. Una ecuación que pronostica el volumen mensual de ventas puede

ser exactamente lo que el gerente de ventas quiere pero podría generar

grandes pérdidas si arroja constantemente cálculos de ventas altos. Un

termómetro que lee de más (o de menos) tendría poca utilidad para realizar un

diagnóstico médico. En consecuencia, un modelo útil es aquel que captura los

elementos adecuados de la realidad con un grado aceptable de precisión.

Un modelo matemático es una ecuación, desigualdad o sistema de

ecuaciones o desigualdades, que representa determinados aspectos del

sistema físico representado en el modelo. Los modelos de este tipo se utilizan

en gran medida en las ciencias físicas, en el campo de la ingeniería, los

negocios y la economía.

Un modelo ofrece al analista una herramienta que puede manipular en

su análisis del sistema en estudio, sin afectar al sistema en sí. Por ejemplo,

supóngase que se ha desarrollado un modelo matemático para predecir las

ventas anuales como una función del precio de venta unitario. Si se conoce el

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costo de producción por unidad, se pueden calcular con facilidad las utilidades

anuales totales para cualquier precio de venta. Para determinar el precio de

venta que arrojará las utilidades totales máximas, se pueden introducir en el

modelo distintos valores para el precio de venta, uno a la vez, determinando las

ventas resultantes y calculando las utilidades anuales totales para cada valor

de precio de venta examinado. Mediante un proceso de prueba y error, el

analista puede determinar el precio de venta que maximizará las utilidades

anuales totales.

Lo ideal sería que si el modelo matemático es una representación válida

del rendimiento del sistema, mediante la aplicación de las técnicas analíticas

adecuadas, la solución obtenida a partir del modelo debería ser también la

solución para el problema del sistema. Así, la efectividad de los resultados de

la aplicación de cualquier técnica operativa es en gran medida una función del

grado en el cual el modelo representa al sistema en estudio.

A fin de definir las condiciones que nos conducirán a la solución del

problema del sistema, el analista primero debe identificar un criterio según el

cual se podrá medir el sistema. Este criterio a menudo se denomina medida del

rendimiento del sistema o medida de efectividad. En aplicaciones

empresariales, la medida de efectividad generalmente son los costos o las

utilidades, mientras que en aplicaciones gubernamentales esta medida

generalmente se define en términos de un índice costo/beneficio.

El modelo matemático que describe el comportamiento de la medida de

efectividad se denomina función objetivo. Si la función objetivo es describir el

comportamiento de la medida de efectividad, debe capturar la relación entre

esa medida y aquellas variables que hacen que dicha medida fluctúe. Las

variables del sistema pueden categorizarse en variables de decisión y

parámetros. Una variable de decisión es una variable que puede ser

directamente controlada por el decisor. También existen algunos parámetros

cuyos valores pueden ser inciertos para el decisor. Esto requiere un análisis de

sensibilidad después de descubrir la mejor estrategia. En la práctica, resulta

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casi imposible capturar la relación precisa entre todas las variables del sistema

y la medida de efectividad a través de una ecuación matemática. En cambio, el

analista de IO/CA debe tratar de identificar aquellas variables que afectan en

mayor grado la medida de efectividad y luego debe intentar definir de manera

lógica la relación matemática entre estas variables y la medida de efectividad.

Esta relación matemática es la función objetivo que se emplea para evaluar el

rendimiento del sistema en estudio.

La formulación de una función objetivo que tenga sentido normalmente

es una tarea tediosa y frustrante. Los intentos de desarrollo de una función

objetivo pueden terminar en un fracaso. Esto puede darse porque el analista

elige el conjunto incorrecto de variables para incluir en el modelo o bien, si el

conjunto es el adecuado, porque no identifica correctamente la relación entre

estas variables y la medida de efectividad. En un nuevo intento, el analista trata

de descubrir las variables adicionales que podrían mejorar su modelo

descartando aquellas que parecen tener poca o ninguna relevancia. No

obstante, sólo se puede determinar si estos factores realmente mejoran el

modelo una vez realizadas la formulación y prueba de nuevos modelos que

incluyan las variables adicionales. Todo el proceso de selección y rechazo de

variables puede requerir reiteraciones múltiples hasta desarrollar una función

objetivo satisfactoria. En cada iteración, el analista espera lograr alguna mejora

en el modelo, aunque no siempre se tiene tanta buena suerte. Por lo general, el

éxito final es precedido por una serie de fracasos frustrantes y pequeños

progresos.

En cada etapa del proceso de desarrollo, el analista debe evaluar la

correspondencia o validez del modelo. Normalmente se emplean dos criterios

para realizar esta determinación. El primero implica la experimentación del

modelo: someter el modelo a una serie de condiciones y registrar los valores

asociados de la medida de efectividad dada por el modelo en cada caso. Si la

medida de efectividad varía de manera antinatural con una sucesión de

condiciones de entrada, es posible que la función objetivo no sea válida. Por

ejemplo, supóngase que se desarrolla un modelo destinado a calcular el valor

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