Modelos de redes

MODELOS DE REDES

Optimización de redes es un tipo especial de modelo en programación lineal. Los modelos de redes tienen tres ventajas importantes con respecto a la programación lineal.

Pueden resolverse muy rápidamente. Problemas que con programación lineal tendrían 1000 filas y 30.000 columnas pueden ser resueltos en segundos. Esto permite que los modelos de redes sean usados en muchas aplicaciones (tal como la toma de decisión en tiempo real) para lo cual la programación lineal no es lo ideal.

Requieren en forma natural de soluciones enteras. Al reconocer que un problema puede formularse como algún modelo de red nos permitirá resolver tipos especiales de problemas de programación entera aumentando la eficiencia y reduciendo el tiempo consumido por los algoritmos clásicos de programación lineal.

Son intuitivos. Los modelos de redes proveen un lenguaje para tratar los problemas, mucho más intuitivo que "variables, objetivo, restricciones".

Obviamente los modelos de redes no son capaces de cubrir la amplia gama de problemas que puede resolver la programación lineal. Sin embargo, ellos ocurren con suficiente frecuencia como para ser considerados como una herramienta importante para una real toma de decisiones.

Terminología

Una red o grafo consiste de puntos, y líneas que conectan pares de puntos. Los puntos se llaman nodos o vértices. Las líneas de llaman arcos. Los arcos pueden tener una dirección asociada, en cuyo caso se denominan arcos dirigidos. Si un arco no tiene dirección normalmente se le denomina rama. Si todos los arcos en la red son dirigidos, la red se denomina una red dirigida. Si todos los arcos son no-dirigidos, la red es una red no-dirigida.

Dos nodos pueden estar conectados por un conjunto de arcos. Una trayectoria (path en inglés) es una secuencia de arcos distintos (con nodos no repetidos) conectando a los nodos.

Una trayectoria dirigida desde nodo i al nodo j es una secuencia de arcos, cada uno de los cuales apunta al nodo j (si es que hay dirección). Una trayectoria no dirigida puede incluir arcos dirigidos apuntando en cualquiera de dirección.

Una trayectoria que comienza y que termina en el mismo nodo se denomina ciclo y puede ser ya sea dirigida o no-dirigida.

Una red está conectada si existe una trayectoria no-dirigida entre cualquier par de nodos. Una red conectada que no tiene ciclos se denomina árbol.

Ejemplos

Problema de Transporte

Considere el siguiente problema de limpieza de nieve: la ciudad está dividida en comunas. Después de una tormenta de nieve, se debe sacar la nieve y botarla en un lugar conveniente. En Helsinki (la ciudad del problema), esos lugares son grandes explanadas con un sistema de secado artificial. Cada una de esos "destinos" tiene una capacidad. El objetivo es minimizar la distancia recorrida para transportar la nieve.

Este problema es un ejemplo de un problema de transporte. En tales problemas, existe un conjunto de nodos llamados fuentes y un conjunto de nodos llamados destinos. Todos los arcos van desde el origen al destino. Existe un costo unitario (por unidad) asociado a cada arco. Cada fuente tiene un concepto de abastecimiento y cada destino maneja el concepto de demanda. Se asume que la cantidad total a abastecer es exactamente igual a la cantidad demandada. Pará el problema de la nieve la red puede ser como se muestra a continuación:

Red de Transporte de Nieve

Un problema que corresponde al modelo de transporte puede ser el asignar clientes a un negocio para poder satisfacer las demandas. En tal caso los almacenes son las fuentes, los clientes son los destinos y los costos representan los costos de transporte por unidad.

Problema de Asignación

Un caso especial del problema de transporte es el problema de asignación el cuál ocurre cuando cada oferta es 1 y cada demanda es 1. En este caso la integralidad implica que cada abastecedor será asignado sólo a un destino y cada destino tendrá sólo un abastecedor.

Este es un problema de transporte con todas las ofertas y demandas iguales a 1, un problema de asignación.

Debe notar que un problema balanceado debe tener el mismo número de puntos de ofertas que de demandas, así debemos agregar una máquina dummy (correspondiente a una máquina artificial) y asignar un cero a los costos de asignar la máquina dummy a una planta.

Ruta más corta

Considere una red telefónica. Cierto mensaje puede tomar una cierta cantidad de tiempo sobre cada línea (debido a la congestión, retardo en los switching, etc.). Este tiempo puede variar considerablemente minuto a minuto y las compañías de telecomunicaciones gastan muchísimo tiempo y dinero buscando la consecuencia de los retardos en el sistema. Suponiendo un switcher centralizado que conoce sus retardos, queda entonces el problema de rutear una llamada de tal forma de minimizar los retardos. La siguiente figura muestra el mayor retardo para cada trayectoria desde LA hasta Boston:

Este es un ejemplo de un tipo particular de modelo de red, denominado el problema de la ruta más corta. En tal problema, se tiene una red con costos sobre las ramas y dos nodos especiales: un nodo de inicio y un nodo de término. El objetivo es encontrar una trayectoria desde el nodo de inicio al nodo de término de tal forma que el peso total sea mínimo.

Flujo Máximo

Otro tipo de modelo tiene

...