Notas de cálculo diferencial
Enviado por Jovany Aragon • 8 de Septiembre de 2023 • Prácticas o problemas • 12.878 Palabras (52 Páginas) • 52 Visitas
NOTAS DE CALCULO DIFERENCIAL UNIDAD 3
ELABORADAS POR
JESÚS FRANCISCO HERNANDEZ AGUILAR
ENERO 2023
UNIDAD 3
LIMITES Y CONTINUIDAD
SECCIÓN 3.1 Noción de limite.
En la unidad anterior se vio todo lo referente a funciones, para esta unidad trataremos un tema fundamental para entender varios conceptos, como la derivada y la integral.
Antes de establecer el concepto de limite en una función en general vamos a observar que sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.
Sea [pic 1]En la table siguiente escribimos algunos valores para la variable independiente x alrededor de 1, es decir valores menores que1 o valores por la izquierda y valores mayores que 1 o valores por la derecha pero muy cerca de 1
[pic 2]
Fig 1
Cuando x se aproxima a 1 tanto por la izquierda o por la derecha [pic 3] se aproxima o tiende a 0; y cuanto más cerca está x de 1, o lo que es lo mismo, la diferencia en valor absoluto entre x y 1 es más pequeño, así mismo la diferencia en valor absoluto entre [pic 4] y 0 se hace más pequeña. Es decir, la función también se acerca a 0.
Consideremos ahora la siguiente función
[pic 5] (A)
Utilizando algebra se tiene
[pic 6]
Cancelando el factor [pic 7] en el numerador y el denominador se obtiene [pic 8] (B)
2
Se observa que la función (B) es más simple que (A), sin embargo existe una distinción vital entre (A) y (B),para obtener (B) se canceló el factor [pic 9]del numerador y del numerador que equivale a dividir el numerador y el denominador por [pic 10], sin embargo esto es válido solo si [pic 11]por lo que (A) y (B)
son válidos excepto cuando [pic 12].
Veamos las dos funciones, para graficar (A) debemos calcular los valores de [pic 13] para varios valores de x, para este propósito se puede usar la función más simple (B) excepto para [pic 14]. En [pic 15] la función (A) no tiene valor por lo que no existe valor sobre la gráfica que corresponda a [pic 16].
Que podemos decir acerca del comportamiento de (A) cuando x toma valores cercanos a 1, mayores o menores que 1 la función (A) tiene los mismos valores que la función ( B).
Podemos observar de (B) que cuando x toma valores cercanos a 1 los valores de f(x) se acercan a 2
De aquí podemos decir que el numero 2es el límite de f(x) en (B) cuando x se aproxima a 1. (Ver fig. 2)
[pic 17]
Figura2
Esta gráfica resulta una recta con un hueco en el punto (1,2); por lo que decimos cuando x tiende a 1, [pic 18]se aproxima a 2.
SECCIÓN 3.2 Definición de límite de una función
La explicación anterior conduce a una descripción informal del concepto de limite.
Definición. Si f(x) se hace arbitrariamente cercana a un número L cuando x se aproxima a un número c desde cualquiera de los dos lados, el limite de f(x) cuando x se aproxima a c, f(x) se aproxima a L.
Este límite se escribe como:
[pic 19] 3
SECCION 3.3 Propiedades de los límites.
Los límites también tienen propiedades que nos permiten determinar el comportamiento de las funciones y operar con ellos de una manera más sencilla.
1.Propiedad de la función constante. El limite de una constante es igual a la constante.
[pic 20] donde b es una constante.
Ejemplo: [pic 21]
2. Propiedad de la función identidad. El límite de una función identidad que se acerca a c es c.
[pic 22]
Ejemplo: [pic 23]
3. Propiedad de la función potencia. El límite de una variable elevada a un exponente cuando x se acerca a c es c elevada al exponente.
[pic 24]
Ejemplo: [pic 25]
Dada estas 3 propiedades surgen estos teoremas, que solo los enunciaremos, pero se pueden consultar en un texto de cálculo diferencial donde podrá ver su demostración.
Teoremas.
Si [pic 26] y[pic 27]son funciones tales que los limites [pic 28]existen y son
[pic 29], entonces:
- [pic 30] Propiedad del factor constante
- [pic 31] Propiedad de la suma y propiedad de
la diferencia.
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