Numeros Reales

INTRODUCCION

Como parte de la calificación de la primera unidad de calculo diferencial se nos encargo realizar 3 trabajos: Un resumen de todos los temas de la unidad 1, una presentación del tema que nos toco y una presentación de ejercicios de todos los temas. Este presente es el resumen de toda la unidad, fue realizada por todos los miembros del equipo, leída y revisada por los mismos. El resumen  abarca 7 temas:

TEMA 1: NÚMEROS REALES

TEMA 2: AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES

TEMA 3: INTERVALOS EN ℝ

TEMA 4: VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

TEMA 5: PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

TEMA 6: RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

TEMA 7: RESOLUCION DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO.

TEMA 1: NÚMEROS REALES

Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real. Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente. Los números reales se representan mediante la letra R. Los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e irracionales. 

El conjunto de los números naturales se denota por  ℕ, y se define como

 ℕ = {1, 2, 3, 4, …},

Propiedades de los números naturales

 1. -       1< n para todo n ∈  ℕ

 2. - si  k ∈  ℕ  se define su sucesor como k + 1 y ademas k  + 1 ∈  ℕ

 3. – si  k ∈  ℕ , k ¹ 1, se define su antecesor como k – 1 y ademas k + 1 ∈ℕ Definición del conjunto de los números enteros como [pic 1]

Definición de números racionales: Se define el conjunto de los números racionales como Q =  {  |  a,b ∈ Z,b ¹ 0} *Teorema 1.1.1 todo número racional puede expresarse como una expansión decimal finita  o como una expansión decimal infinita periódica

Definición del conjunto de números irracionales: Se define el conjunto de los números irracionales II como el conjunto de todos los números que no son racionales

 II = { x|x es una expansión decimal infinita no periódica }

 Definición del conjunto de números reales: Se define al conjunto de los números reales como la unión desjunta de números racionales e irracionales. Es decir ℝ =  Q U  II

Es importante observar que los racionales y los irracionales son conjuntos disjuntos, esto es, que dado un número real esta es Q o esta II pero nunca en ambos.

TEMA 2: AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES

Los Axiomas fundamentales son un conjunto que se denotan por  que satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topológico, el conjunto que cumple con estas propiedades se llama conjunto de los números reales y los axiomas de este conjunto comprenden las bases del análisis matemático.

Existen tres tipos de axiomas: los axiomas algebraicos, los axiomas de orden y el axioma topológico.

El primero, trata de las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.

Axiomas algebraicos: Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adición y de la multiplicación.

Axioma de la adición:

• A1.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado por  que llamamos la suma de  e .[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]
• A1.2  para todo .[pic 7][pic 8]
• A1.3   para todo  .[pic 9][pic 10]
• A1.4 Existe un elemento de , denotado por  tal que  para todo .[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]
• A1.5 Para cada  existe un   tal que .[pic 15][pic 16][pic 17]

Axiomas de multiplicación:

• A2.1 Para todo  , existe un único elemento, también en  , denotado por  que llamaremos el producto de  e.[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]
• A2.2   para todo  .[pic 23][pic 24]
• A2.3  para todo  .[pic 25][pic 26]
• A2.4 Existe un elemento de  , que denotaremos por  tal que  y además  .[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]
• A2.5 Para cada  tal que no sea cero, existe un  tal que  .[pic 31][pic 32][pic 33]

Axioma de distribución: Este axioma conecta la suma o resta con la multiplicación.

A3.1 Para todo .[pic 34]

Axiomas de orden: Los axiomas de orden establecen una relación de cantidad. Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es «menor» que otro si está contenido en este, es decir, si su carnalidad es menor o igual que otra.

Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo  que nos dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo  que ya conocemos.[pic 35][pic 36]

Se dirá que  o  solo si  es menor que . O, dicho de otra forma, si  es mayor que .[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto O  tal que  si y solo si () .[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

Axioma topológico: Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un número irracional, como raíz cuadrada de dos, por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico que dice lo siguiente, si se quiere.

“Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente”

Axiomas de los números reales: Dados dos números reales cualesquiera x,y se define la suma x+y ∈ ℝ y el producto xy∈ ℝ, que satisfacen los siguientes axiomas:

Axioma 1. Propiedad conmutativa de la suma x + y= y + x

Axioma 2. Propiedad asociativa de la suma x+ (y+z) = (x+y) + z

Axioma 3. Existencia del neutro aditivo Existe el 0∈ ℝ tal que x + 0 = x

Axioma 4. Existencia de inversos aditivos Para todo número real x existe − x∈ ℝ, tal que x + (−x) = 0.

Axioma 5. Propiedad conmutativa del producto xy = yx  

Axioma 6. Propiedad asociativa del producto. x(yz) = yx 

Axioma 7. Existencia del neutro multiplicativo Existe el 1∈ ℝ tal que x ∙ 1 = x

Axioma 8. Existencia de inversos aditivos Para todo número real distinto de cero x existe x −1 ∈ ℝ tal que x ∙ x −1 = 1.

Axioma 9. Propiedad distributiva x (y+z) = xy + xz

Todas las propiedades conocidas de los números reales pueden demostrarse a partir de los axiomas anteriores, por esta razón se dice que la teoría de los números reales es una teoría axiomática. Los axiomas de los números reales permiten definir operaciones complementarias como la diferencia de dos números y el cociente de dos números.

TEMA 3: INTERVALOS EN ℝ

Los intervalos son subconjuntos de la recta que están determinados por dos números reales que se llaman extremos; en un intervalo se encuentran todos los números posibles entre ambos y también pueden estar los extremos. En el texto habla de los siguientes intervalos:

• El intervalo abierto (a,b) es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b, (a,b)=  { X |a<X<b}, un ejemplo es el  intervalo (5,9)=  { X |5<X<9} donde el valor de X puede ser 6,7 y 8
• El intervalo cerrado [a,b ] , es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b, [a,b]=  { X |a≤X≤b}, un ejemplo es el intervalo [5,9]= { X |5≤X≤9}, donde el valor de X puede ser 5,6,7,8 y 9
• El intervalo mixto es aquel que incluye tan solo uno de los extremos de los valores que están entre ellos, de modo que el otro extremo queda excluido, pueden estar incluidos o excluidos tanto el extremo derecho (a,b]= { X |a<X≤b} ejemplo (5,9]={ X |5<X≤9} los valores de X pueden ser 6,7,8 y 9,como el izquierdo [a,b)= { X |a≤X<b} ejemplo [5,9)= { X |5≤X<9} los valores de X pueden ser 5,6,7 y 8
• Los intervalos infinitos es aquel que tiene un valor infinito en uno (-∞,b)={ X |X<b} , (-∞,b)={ X |X≤b} , [a,∞)= { X |a<X},  [a,∞)= { X |a≤X} o ambos extremos, el extremo que posea el infinito será un extremo abierto, en caso de que ambos extremos sean infinitos, será la recta real (-∞,∞)= ℝ.

TEMA 4: VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

También conocido como modulo de un numero real denotado por X ,es el valor no negativo de este sin importar el signo ,ya sea positivo o negativo ,esta vinculado con las nociones de MAGNITUD , DISTANCIA Y NORMA, por lo que dice que el valor absoluto de un numero es la distancia del mismo por lo que siempre es positivo.

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