Numeros reales
Enviado por Milagros Carrión • 25 de Mayo de 2022 • Apuntes • 3.375 Palabras (14 Páginas) • 57 Visitas
NÚMEROS REALES
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES.
Es el conjunto denotado , junto con la relación de igualdad (=), la relación de orden “ < ” (menor que), las operaciones de adición (+) y multiplicación (), las cuales cumplen los siguientes axiomas: [pic 1][pic 2]
- De igualdad
- Reflexiva [pic 3]
- Simétrica [pic 4]
- Transitiva [pic 5]
- De cerradura
- aditiva [pic 6]
- multiplicativa [pic 7]
- De conmutatividad
- aditiva [pic 8]
- multiplicativa [pic 9]
- De asociatividad
- aditiva: [pic 10]
- multiplicativa: [pic 11]
- Del elemento neutro
- aditivo: existe un elemento tal que [pic 12][pic 13]
- multiplicativo existe un elemento tal que [pic 14][pic 15]
- Del elemento inverso
- aditivo: tal que [pic 16][pic 17]
- multiplicativo tal que [pic 18][pic 19]
- De distributividad
- [pic 20]
- [pic 21]
- De la relación de orden
- Tricotomía. Para solamente una de las relaciones se cumple: , , .[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]
- Transitividad. Si , [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]
- Monotonía de la adición. Si [pic 30][pic 31][pic 32]
- Monotonía de la multiplicación. Si , [pic 33][pic 34][pic 35]
El principio de sustitución.
En toda expresión matemática un objeto puede ser reemplazado por su idéntico.
Sustracción de números reales.
Si la sustracción de dichos números se define como [pic 36]
[pic 37]
División de números reales.
Para la división de dichos números se define como [pic 38]
[pic 39]
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ELEMENTALES CON NÚMEROS REALES.
- Monotonía de la adición. [pic 40]
[pic 41]
Demostración.
Supondremos que y demostraremos la igualdad .[pic 42][pic 43]
En efecto:
Propiedad reflexiva de la igualdad[pic 44]
Principio de sustitución de la hipótesis. [pic 45]
- Monotonía de la multiplicación
[pic 46]
Demostración.
Supondremos que y demostraremos la igualdad .[pic 47][pic 48]
En efecto:
Propiedad reflexiva de la igualdad[pic 49]
Principio de sustitución de la hipótesis. [pic 50]
- Propiedad cancelativa de la adición.
[pic 51]
Demostración.
elemento neutro aditivo[pic 52]
elemento inverso aditivo[pic 53]
hipótesis [pic 54]
elemento inverso aditivo[pic 55]
elemento neutro aditivo[pic 56]
- Propiedad cancelativa de la multiplicación. Si [pic 57]
[pic 58]
Demostración.
elemento neutro multiplicativo[pic 59]
elemento inverso multiplicativo[pic 60]
hipótesis [pic 61]
elemento inverso multiplicativo[pic 62]
elemento neutro multiplicativo[pic 63]
- Unicidad del elemento neutro aditivo
Si [pic 64]
Esto significa que, si un número real se comporta como el elemento neutro aditivo, es el elemento neutro aditivo.
Demostración. En efecto,
elemento neutro aditivo[pic 65]
elemento inverso aditivo[pic 66]
hipótesis [pic 67]
elemento inverso aditivo[pic 68]
- Unicidad del elemento inverso aditivo
Si [pic 69]
Esto significa que, si un número real se comporta como el elemento inverso aditivo, es el elemento inverso aditivo.
Demostración. En efecto,
elemento neutro aditivo[pic 70]
elemento inverso aditivo[pic 71]
hipótesis [pic 72]
elemento neutro aditivo[pic 73]
- El inverso aditivo del cero es el mismo [pic 74]
Demostración
Elemento neutro aditivo[pic 75]
Elemento inverso aditivo[pic 76]
- Unicidad del elemento neutro multiplicativo
Si y [pic 77][pic 78]
Esto significa que, si un número real se comporta como el elemento neutro multiplicativo, es el elemento neutro multiplicativo.
Demostración. En efecto,
elemento neutro multiplicativo[pic 79]
elemento inverso multiplicativo[pic 80]
...