NÚMEROS REALES
Alba69Ensayo11 de Octubre de 2021
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NÚMEROS REALES
Ya dijimos que con los números racionales se pueden representar casi todas las cantidades que se encuentran en la vida cotidiana y, a cada número racional le corresponde una expre- sión decimal finita o periódica y cada expresión decimal finita o periódica representa un número racional.
Como ya vimos, los números racionales se pueden representar en una recta numérica donde se fijan el cero y la unidad de medición. Si bien el conjunto Q es un conjunto denso, porque entre dos números racionales distintos siempre hay infinitos otros.
Pero aunque lográramos marcar todos los números racionales en la recta, igual nos quedarían puntos sin marcar, es decir, nos quedarían huecos.
Por ejemplo, el punto que representa al valor de la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 es igual al número que no es un número racional pues, no puede escribirse como un cociente de números enteros, es decir, no existe un número racional cuyo cuadrado sea igual a 2.[pic 1]
Para darle sentido numérico a esos huecos se introduce el conjunto de los números Irraciona
les, que simbolizamos I, que junto con Q forman el conjunto de los números Reales y aho- ra si completamos la recta numérica.
Entonces, R= Q I. [pic 2]
El conjunto de los números reales cumple con los axiomas ya enunciados para los números racionales que les da estructura de cuerpo ordenado y denso
Ahora vamos a demostrar no es un número racional, es decir, no puede escribirse como cociente de números enteros primos entre sí. [pic 3]
Esta demostración la vamos a realizar por ¨reducción al absurdo ¨, esto significa que partire- mos negando o suponiendo que es falsa la tesis, que es lo que queremos demostrar, y si llega- mos a la negación nuestras hipótesis, lo cual es un absurdo porque siempre la hipótesis es verdadera, entonces el absurdo proviene de negar nuestra tesis, por lo tanto, ésta es verdadera
Teorema: “No existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2¨
Simbólicamente: Q tal que = 2 [pic 4][pic 5][pic 6]
Hipótesis: Q y es una fracción irreducible con q 0.[pic 7][pic 8][pic 9]
Tesis: [pic 10][pic 11][pic 12]
Demostración: Supongamos que es falso lo que queremos demostrar, es decir, supongamos que es un número racional que podemos expresar como una fracción irreducible, entonces [pic 13]
Q tal que = [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
Si es un racional existen, dos números enteros p y q, sin divisores comunes, excepto el 1 y el -1 y q 0, pues de otro modo podríamos simplificarlos.[pic 18][pic 19]
Si elevamos al cuadrado ambos miembros de = nos queda ( )2 = 2, despejando, [pic 20][pic 21][pic 22]
p2 = 2 q2.(1)
La expresión (1) nos dice que p2 es par, ya que es igual a multiplicar 2 por un número entero.
Por lo tanto, p es par y podemos escribir p = 2 k con k Z. [pic 23]
Reemplazando p por 2k en (1) nos queda: (2k)2 = 2 q2 4 k2 = 2 q2 [pic 24]
Simplificando me queda, q2 = 2 k2.
Luego q también es par y podemos escribir: q = 2 h con h Z. [pic 25]
Así pues, si reemplazamos nos quedo, = . [pic 26][pic 27]
Luego, p y q, por ser números enteros pares, tienen por lo menos un divisor común que es el 2, entonces no son primos entre sí como establece la hipótesis.
Así llegamos a una contradicción a nuestra hipótesis, que provino de suponer que es un número racional, por lo cual queda demostrado el teorema por reducción al Absurdo.[pic 28]
no es un número racional significa que, como todos los números irracionales, no pode- mos expresarlo como fracción.[pic 29]
Si bien los números Irracionales admiten una expresión decimal, ésta es infinita y no periódica.
Si usamos la calculadora nos da una aproximación hasta 10 dígitos, = 1,424213562……..[pic 30]
En general, cualquier raíz inexacta de un número racional o alguna combinación algebraica que la involucre (y que exista) es un número Irracional, y dado que estos tienen un número infinito de cifras decimales es imposible escribir su valor exacto.
Por ello para operar con estos números se utilizan aproximaciones ó símbolos específicos
Otros ejemplos de números irracionales son: , - , 1+, 0,10110111011110., etc.[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]
Además, entre dos números reales hay siempre otro número real.
Por ejemplo, entre el 1,41 y podemos ubicar el 1,414, pues 1,41 < 1.414 < .[pic 35][pic 36]
Entre 1,414 y podemos ubicar el 1,4141, pues 1,41 < 1,414 < 1,4141 < . [pic 37][pic 38]
Este proceso lo podemos continuar indefinidamente ya que tiene infinitas cifras decimales no periódicas. [pic 39]
Entonces como ya dijimos el conjunto R es denso, porque entre dos números reales siempre hay infinitos reales pero, ahora su representación en la recta no tiene huecos, es decir, está Completa.
El conjunto de los números Reales, al igual que el conjunto Q, satisface los Axiomas de Cuer- po Ordenado.
Sin embargo, los números reales satisfacen un nuevo axioma que permite distinguirlos de los racionales, el Axioma de Completitud que dice:
“Un conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente siempre tiene supremo¨
Para comprender este axioma, primero necesitamos interpretar las definiciones de cotas, supremo, máximo, ínfimo y mínimo. Comenzaremos, aunque ya los usamos en la resolución de las ecuaciones, definiendo los intervalos, ahora en el conjunto de los números reales y cómo los simbolizamos.
Dados dos números reales a y b, con a < b se llama intervalo de extremos a y b a la totalidad
de los números reales comprendidos entre a y b, que se corresponden con los puntos de un segmento, una semirrecta o con la recta real entera. Puede o no incluir los extremos.
Los puntos del intervalo, distinto de los extremos se llaman puntos interiores al intervalo.
A los intervalos que incluyen ambos extremos, los llamamos cerrados y los indicamos [a,b]
A los intervalos que no incluyen a ninguno de los extremos, los llamamos abiertos y lo indica- mos (a,b).
El corchete indica que el extremo pertenece al intervalo y el paréntesis que no pertenece.
En el caso de un intervalo abierto (a,b) todos los puntos del mismo son interiores
También se suelen considerar los intervalos semiabiertos, es decir, abiertos a la derecha o izquierda y cerrados en el otro extremo según corresponda.
Las definiciones de las distintas clases de intervalos son
[a,b] = { x R/ a x b} _____[_____________]___________ Cerrado [pic 40][pic 41][pic 42]
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