Números Reales y Complejos

0TEMA 1: Números Reales y Complejos

• Operación interna: Dado un conjunto “K” y una operación con cualquier numero que pertenezca al conjunto, debe dar un número que pertenezca al conjunto “K”.

• Cuerpo conmutativo: Sea el conjunto “K” un conjunto no vacío, con dos operaciones internas “+” y “.”; denominadas suma y multiplicación. Para que un cuerpo sea conmutativo se deben verificar las siguientes propiedades:

-Para la suma: a) Asociativa: (a + b) + c = a + b + c; siempre que a, b, c, pertenezcan a K.

                          b) Conmutativa: a + b = b + a; siempre que a, b, pertenezcan a K

                          c) El elemento neutro: un número es un elemento neutro (“e”) si al  

                              sumarlo a cualquier otro número (“a”), este no cambia:

a + e = e + a = a

                          d) El elemento opuesto: si sumas un numero (“a”) y su opuesto (“-a”),

                              debe dar como resultado el elemento neutro (0).

-Para la multiplicación: a) Asociativa: a * b = b * a; siempre que a, b, c, pertenezcan a K.

                                          b) Conmutativa: a * b = b * a; siempre que a, b, pertenezcan a K

                                          c) El elemento neutro: un número es un elemento neutro (“e”),

                                             sí al sumarlo a cualquier otro número (“a”), este no cambia:

a + e = e + a = a

                                          d) El elemento inverso: si sumas un numero (“a”) y su opuesto

                                              (“-a”), debe dar como resultado el elemento neutro (0).

• Conjuntos de números complejos: están formados por pares ordenados de números reales formando así . Consideraremos en , las operaciones internas de suma y multiplicación definidas por:[pic 1][pic 2]

-Suma de pares:  🡪 Elemento neutro: (0,0)[pic 3]

-Producto de pares:  [pic 4]

                                      Elemento neutro: (1,0).

• Números complejos:

-Al número complejo (0,1) lo denotaremos por i, denominándose unidad imaginaria.

-A todo número complejo de la forma (a, 0) lo identificamos con el número real “a”.

-En este caso, podemos expresar (0, b) = (b, 0) * (0, 1) = b * i

• Modulo y Conjugado:

-Modulo: [pic 5]

-Conjugado: Se llama conjugado de un complejo z = a + b * i, y se denota por z, al

                       número complejo que resulta de cambiar de signo la parte imaginaria,          

                       .[pic 6]

• Operaciones en forma binómica: Dados los números complejos:

  y [pic 7][pic 8]

-Suma: [pic 9]

-Producto: [pic 10]

-cociente:[pic 11]

• Representación polar y trigonométrica:

-Representación polar: se llama argumento principal de un numero complejo z, y se  

                                         denota por arg(z), al ángulo θ, que forma el vector que representa

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