OPERACIONES CON VECTORE

Operaciones con vectores

• La fórmula del producto de un vector por el vector 0 para el producto punto y cruz.

• La ley conmutativa del producto escalar.

• La ley distributiva del producto escalar y producto cruz.

• Muestra la fórmula de la propiedad anti conmutativa del producto vectorial.

• Presenta la fórmula del triple producto escalar de tres vectores

Multiplicación de Vectores

En esta aportación presento los teoremas (Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico a la ves logra ser afirmación que puede ser demostrada verdadera dentro de un marco lógico)

Definiendo tres vectores unidad, en términos de los cuales todo vector puede expresarse de manera única. Se define i, j, k por

i = (1,0,0) ; j = (0,1,0) ; k = (0,1,0) ;

Teorema: si a = (a1, A2, a3)

a = a1i + a2j + a3k

Inversamente, si a = a1i + a2j + a3k

a = (a1, A2, a3)

El primer tipo de producto de dos vectores a definir es el productos punto o producto interno o escalar, denotado por a • b

a • b = a1bi + a2b2+ a3b3

Teorema. El producto interno satisface las siguientes reglas:

I. a • b = b• a (ley conmutativa)

II. a • (b+c) = a • b+ a • c (ley distributiva)

III. (aa) • b = a(a • b) (ley asociativa)

IV. a • a = |a|

Los vectores especiales i, j, k satisfacen las siguientes relaciones:

i • i = j • j = k • k = 1

i • j = j • k = k • i = 0

Teorema |a • b| £ |a| • |b| y la desigualdad se cumple si y solo si uno de los vectores es un múltiplo escalar del otro.

(Léase la expresión anterior el valor absoluto del producto punto de dos vectores a y b, es menor o a lo más igual al valor absoluto de los vectores a por b.)

Al demostrar esta desigualdad, podemos saber que existe un único ángulo θ en {0 £ θ £ p}, se define este ángulo θ como el ángulo entre a y b.

Interpretando a • b geométricamente a • b = |a| • |b| cos θ = la longitud de las proyecciones de a sobre b

La proyección de a • b se le llama componentes de a en la dirección de b

Usando el cálculo vectorial

|a-b| 2 = (a-b) • (a-b) = |a| 2 + |b| 2 -2a • b

Por lo tanto

a • b = |a| • |b| cos θ

si a • b = 0 se concluye que uno de los dos vectores es cero o bien que θ = p/2 en este caso se dice que los vectores son ortogonales o perpendiculares.

Producto vectorial p producto cruz a X b y se define por

a X b = (a2b3- a3b2, a3b2,a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1)

lo que podríamos rescribir como

a X b = i(a2b3- a3b2) + j(a3b1 – a1b3) + k(a1b2 – a2b1)

A continuación establecemos las propiedades elementales del producto cruz

Teorema

a) a X b = -b X a

b) a X (b+c) = a X b + a X c

c) a X (ab) = aa X b = a (a X b)

d) a X a = 0

e) i X i = j X j = k X k = 0

f) i X j = k, j

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