Operaciones con vectores y sus propiedades

Unidad 1.  Algebra de  Vectores

1.2.1. Operaciones con Vectores y sus Propiedades

1. Un barco recorre 5 kilómetros hacia el norte y luego 3 kilómetros hacia el noroeste. Representa estos vectores desplazamiento y hallar el desplazamiento resultante: (a) gráficamente, (b) analíticamente.[pic 1]

     [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

[pic 11][pic 12][pic 14][pic 13][pic 15]

[pic 16][pic 17][pic 19][pic 20][pic 18]

[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

[pic 26]

 [pic 27][pic 28][pic 31][pic 29][pic 30]

[pic 32]

    El vector OP o A es el desplazamiento      de 5 Km hacia el Norte.

PQ o B  es el desplazamiento de 3 Km hacia el Noroeste.

El  vector OQ o C  es suma de los vectores o vector resultante de A y B , es decir, C = A + B.  El vector resultante OQ  se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo OPQR construido con los vectores OP = A y OR 

a). Determinación gráfica de la resultante. Se mide la longitud de la diagonal con la misma unidad de longitud de 1 Km adoptada para los otros vectores. Así se deduce el valor de 7.4 Km aproximadamente. Mediante un transportador se mide el ángulo O0Q = 73.1º. Por lo tanto, el vector OQ tiene de módulo 7.4 Km y dirección y sentido O-73.1º-N

b). Determinación analítica de la resultante. En el triángulo OPQ llamado A, B, C a los módulos de los vectores A, B, C, respectivamente, por el teorema del coseno calculamos el lado C del triángulo de la siguiente manera: C2 = A2 + B2 – 2ABcos 0PQ,

Sustituyendo:  

C2 = (5)2 + (3)2 – 2(5)(3) cos 135°      C=            Donde C = 7.43 Km[pic 33]

Aplicando el teorema de los senos se deduce la dirección y el sentido: [pic 34]

    Sen Q = =   0.47       [pic 35][pic 36][pic 37]

De donde el ángulo Q = 28°1’. En consecuencia, el vector OQ, tiene de módulo 7.43 Km y una dirección que forma un ángulo con la dirección Este de (45º + 28°1´) = 73°1´, esto es, su dirección y sentido quedan definidos por O- 73º1´-N

2. Un automóvil recorre 4 kilómetros hacia el sur y luego 7 kilómetros hacia el sureste. Representa estos vectores desplazamiento y hallar el desplazamiento resultante: (a) gráficamente, (b) analíticamente.

[pic 39][pic 38]

[pic 40]

[pic 41][pic 43][pic 44][pic 45][pic 42]

[pic 46][pic 47][pic 48][pic 50][pic 51][pic 49][pic 52]

[pic 53][pic 54][pic 56][pic 57][pic 58][pic 55]

[pic 59][pic 60][pic 63][pic 64][pic 65][pic 67][pic 68][pic 69][pic 61][pic 62][pic 66]

[pic 70][pic 71]

[pic 72]

[pic 73][pic 74]

El  vector OP o A es el desplazamiento de 4 Km hacia el Norte.

El  vector PQ o B es el desplazamiento de 7 Km hacia el Noroeste.

El  vector OQ o C es el desplazamiento resultante  de A y B, es decir, C = A + B. El vector resultante OQ  se puede obtener trazando la diagonal del paralelogramo OPQR construido con los vectores OP = A y OR.

a). Determinación gráfica de la resultante. Se mide la longitud de la diagonal con la misma unidad de longitud de 1 Km adoptada para los otros vectores. Así se deduce el valor de 10.22 Km aproximadamente. Mediante un transportador se mide el ángulo E0Q = 60º23’. Por lo tanto, el vector OQ tiene de módulo 10.22 Km y dirección y sentido E-60º23’-S

b). Determinación analítica de la resultante. En el triángulo OPQ llamado A, B, C a los módulos de los vectores A, B, C, respectivamente, por el teorema del coseno calculamos el lado C del triángulo de la siguiente manera: C2 = A2 + B2 – 2ABcos 0PQ,

sustituyendo:  

C2 = (4)2 + (7)2 – 2(4)(7) cos 135°      C=   donde C = 10.22 Km[pic 75]

Aplicando el teorema de los senos se deduce la dirección y el sentido: [pic 76]

    Sen Q = =   0.27  [pic 77][pic 78][pic 79]

donde el ángulo Q = 28°1’. En consecuencia, el vector OQ, tiene de módulo 7.43 Km y una dirección que forma un ángulo con la dirección Este de (45º + 15°39´) = 60°23´, esto es, su dirección y sentido quedan definidos por E- 60º23´-S

3. Dado los siguientes vectores encontrar los vectores resultantes y sus módulos

        [pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87]

[pic 88]

2 A= 2(3i + j + 2k) = 6i + 2j + 4k                       B = -1/2(-4i -2j +3k) = 2i +j – 3/2k[pic 89]

R = 2A – 1/2B = 6i + 2j + 4k +2i + j – 3/2k = 8i + 3j + 5/2k

R = 8i + 3j + 5/2k

||R|| =  =  =  =  =  = [pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95]

MR =  =  =  =[pic 96][pic 97][pic 98][pic 99]

                                x   = [pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104]

[pic 105][pic 106][pic 107]

[pic 108]

3/2B = 3/2(-4i -2j + 3k) = - 6i – 3j + 9/2k

2D= 2(3i – 4j + k) = 6i – 8j + 2k

-E= -(-6j + 2 k) = 6j -2k

R = 3/2B + 2D – E = -6i – 3j + 9/2k + 6i – 8j + 2k +6j – 2k

R = - 5j + 9/2k

||R|| =  =  =  =  = [pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113]

MR =   =  = =  [pic 114][pic 115][pic 116][pic 117]

 =          =  =  = [pic 118][pic 119][pic 120][pic 121][pic 122][pic 123]

[pic 124]

[pic 125][pic 126][pic 127]

-4C = -4 (-6i + 2k) = 24i – 8k

3E = 3(-6J + 2K) = -18j + 6K

-2/3D = -2/3(3i -4j + k) = - 2i + 8/3j – 2/3k

R = 24i – 8K – 18j + 6k -2i + 8/3j -2/3k = 22i - 46/3j – 8/3k

R = 22i - 46/3j – 8/3k

||R|| =  =  =  = [pic 128][pic 129][pic 130]

 = [pic 131][pic 132]

MR=  =  = =[pic 133][pic 134][pic 135][pic 136]

 =         =  =  x  = [pic 137][pic 138][pic 139][pic 140][pic 141][pic 142][pic 143]

 =  =  x  = [pic 144][pic 145][pic 146][pic 147][pic 148]

4. Hallar la expresión en componentes y calcular la longitud del vector v con punto inicial (4, 8) y punto final (-6,-10). Hallar también su vector unitario u en la dirección de v.

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