Olimpiada Matematicas

Problemas planteados en diversas olimpiadas en el mundo

1. Las localidades P1, ..., P1983 son atendidas por diez aerolineas internacionales A1, ..., A10. Se hace notar que hay un servicio directo (sin paradas) entre dos localidades cualquiera y todos los horarios son en ambos sentidos. Pruebe que por lo menos una de las aerolineas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de paradas.

2. Sea n un entero positivo. Sea s (n) la suma los divisores naturales de d de n (incluyendo 1 y n). Decimos que un entero m ³ 1 es "superabundante" si " k Î {1, 2, ..., m-1}:

[s (m)]/m > [s (k)]/k

Pruebe que existe un infinito número de numeros "superabundantes".

3. Se dice que un conjunto E de puntos del plano euclidiano es "pitagoriano" si para cualquiera partición de E en dos sub conjuntos A y B, por lo menos uno de los conjuntos contiene el vértice del triángulo rectángulo. Decida si los siguientes conjuntos son o no "pitagorianos".

(a) Un círculo.

(b) Un triángulo equilátero (que es un conjunto de los tres vértices y los puntos de las aristas).

4. En los lados de un triángulo ABC, se construyen un triángulo isósceles similar ABP (AP = PB), AQC (AQ = QC) y BRC (BR = RC). Los dos primeros son construídos externamente al triángulo ABC, pero el tercero esta situado en el mismo semiplano determinado por la línea BC como el triángulo ABC. Probar que APRQ es un paralelogramo.

5. Considerar el conjunto de todos estrictamente en secuencia decreciente de n números naturales teniendo la propiedad que en cada secuencia ningún término divide a otro de la secuencia. Sea A = (aj) y B = (bj) cualquiera de las dos secuencias.

Decimos que A precede a B si ak < bk y ai = bi para i < k. Encontrar los térmiinos de la primera secuencia del conjunto bajo este orden.

6. Suponga que {x1, x2, ..., xn} son enteros positivos para los cuales x1 + x2 + ... + xn = 2(n + 1). Mostrar que existe un entero r con 0 £ r £ n - 1 para lo cual el próximo n - 1 inigualdad se cumple:

xr+1 £ 3

xr+1 + xr+2 £ 5

....

xr+1 + xr+2 + ... + xn £ 2(n-r) + 1

....

xr+1 + xr+2 + ... + xn + x1 + ... + xi £ 2(n + i - r) + 1; (1 £ i < r - 1)

....

xr+1 + xr+2 + ... + xn + x1 + ... + xr-1 £ 2(n) - 1;

Probar que si todas las inegualdades son estrictas, r es única, y que de otra manera hay exactamente dos como r.

7. Sea un entero positivo y sea {an} definido por

a0 = 0

an+1 = (an + 1)a + (a + 1)an + 2.Sqrt [a(a + 1)an(an + 1)]; (n = 1, 2, ...)

Muestre que para cada entero positivo n, an es un entero positivo.

8. En una prueba participan 3n estudiantes que están situados en tres filas de n estudiantes cada una. Los estudiantes salen de la sala de prueba uno por uno. Si N1(t), N2(t), N3(t) denotan los números de estudiantes en la primera, secunda y tercera fila respectivamente en el tiempo t, encontrar la probabilidad que para cada t durante la prueba

|Ni(t) - Nj(t)| < 2, i ¹ j, i, j = 1, 2, ...

9. Sea p y q > 0 enteros. Mostrar que existe un intervalo I de longitud 1/q y un P con coeficientes enteros tales que:

|P(x) - p/q|<1/(q2)

para todo x en I.

10. Sea f : [0,1] ® R continuo y que satisface:

f (2x) = b.f (x); 0 £ x £ 1/2,

f (x) = b - (1 - b).f (2x - 1); 1/2 £ x £ 1,

donde b = (1 + c)/(2 + c), c > 0. Show that 0 < f(x) - x < c para cada x, 0 < x < 1.

11. Encontrar todas las funciones de f definidas en los números reales positivos y teniendo un valor real positivo, que satisfacen la condición:

(i) f( xf(y)) = y. f(x) para todos los positivos reales x, y.

(ii) f(x) ® 0 as x ® +¥.

12. Sea E el conjunto de 19833 puntos en el espacio R3 cuyas tres coodinadas son enteros entre 0 y 1982 (incluidos 0 y 1982). Un color de E es un mapa

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