Oscilaciones

OSCILACIONES

I. OBJETIVO

Investigar sobre el movimiento armónico simple (MAS) de sus cuerpos elásticos

II. MATERIALES / EQUIPO

1 Soporte Universal 1 Resorte de acero

1 Regla milimétrica 1 Juego de pesas más porta pesas

1 Balanza digital 1 Cronometro

III. FUNDAMENTO TEORICO

1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

Un cuerpo realiza un MAS cuando oscila en torno a una posición de equilibrio, su trayectoria es rectilínea, repite de manera periódica los valores de las magnitudes que lo describen (posición, velocidad, aceleración) y cumple la ley de Hooke: F = - k y.

2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN MAS

Para describir completamente el MAS debemos obtener las ecuaciones que nos permitan conocer la posición, la velocidad y la aceleración de una partícula en un instante dado. Pero antes hemos de definir algunas características de este movimiento:

CARACTERÍSTICAS DE UN MAS :

- Vibración u oscilación: distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de vaivén.

- Centro de oscilación, O: punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas por la partícula móvil.

- Elongación, y: distancia que en cada instante separa la partícula móvil del centro de oscilación, O, tomado como origen de las elongaciones. Viene dada por la coordenada de posición de la partícula en un momento dado. Consideramos positivos los valores de esta coordenada a la derecha del punto O y negativos a su izquierda.

- Amplitud, A: valor máximo de la elongación.

- Periodo, T: Tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa.

- Frecuencia,  (o “f”): número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Es la inversa del periodo (T = 1/). Su unidad en el SI es el hercio, Hz, siendo 1 Hz = 1 s-1.

- Pulsación, w: Número de periodos comprendidos en 2 unidades de tiempo (w = 2 ). Su unidad en el SI es el rad s-1.

La ecuación de un MAS nos viene dada por la solución de una ecuación diferencial, que es la formulada cuando un cuerpo es sometido a una fuerza de recuperación (aquella que es proporcional a su desplazamiento desde la posición donde el cuerpo se encuentra en equilibrio). Una ley de este tipo es la ley de Hooke. Si escribimos F como ma, y la aceleración como la segunda derivada de la posición, la ecuación que obtenemos es:

El hecho de que el MAS sea un movimiento periódico, nos hace pensar que su ecuación matemática deba implicar una función periódica que ya conocemos, el seno o el coseno, que irán multiplicando a la amplitud del movimiento, que será la elongación máxima que alcance el cuerpo durante su movimiento. Así las cosas, la solución propuesta a la ecuación diferencial escrita arriba, y que describirá fielmente el movimiento físico del cuerpo vibrante, será una función del tiempo y = y(t) de la forma:

m

donde A es la amplitud medida en metros en el S.I. y w = = es la frecuencia angular, medida en rad/s en el S.I.

Atención:

- A y 0 determinan el valor de la elongación y en t = 0, ya que entonces y = Asen0.

- Si 0 = 0, entonces, para t = 0, y = 0; es decir, al iniciarse el movimiento, la partícula está en el centro de oscilación.

- El valor de y se repite cada vez que el ángulo wt + 0 aumenta en 2 rad:

- Cuando sen (wt + 0) vale +1 ó –1, la elongación y vale +A o –A. La partícula se halla en las posiciones extremas de su trayectoria.

- Si 0 = /2 rad, la partícula se halla en la posición +A al comenzar a contar el tiempo.

a) La velocidad de un movimiento vibratorio la deducimos derivando la ecuación de la elongación con respecto al tiempo:

m/s

La velocidad puede expresarse fácilmente en función de la posición ocupada por la partícula.

Como sen2 + cos2 = 1, también se cumple que sen2(wt + 0) + cos2(wt + 0) = 1

Por tanto:

v = Awcos =Aw

v=

Atención:

- La gráfica de la velocidad está desfasada /2 respecto a la gráfica de la elongación y.

- Si 0 = 0, entonces, para t = 0, v > 0, es decir, al iniciarse el movimiento, la partícula se desplaza en sentido positivo del eje.

- Cuando y =  A, la velocidad es nula, lo que ocurre para wt = /2, 3/2, 5/2... si 0 = 0, es decir, cuando la partícula se halla en los extremos de la trayectoria.

- Cuando y = 0, la velocidad toma su valor máximo absoluto, v =  Aw, lo que ocurre para wt = 0, , 2, 3...si 0 = 0, es decir, cuando la partícula se halla en el centro de oscilación

b) La aceleración del MAS la calculamos volviendo a derivar la velocidad de vibración del cuerpo:

m/s2

m/s2

La aceleración es proporcional a la elongación y de sentido contrario a ésta. Esta condición es necesaria para que un movimiento periódico sea un MAS.

3. DINÁMICA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE

Hasta ahora nos hemos limitado a las características cinemáticas del MAS, y a partir de ahora estudiaremos las características dinámicas aplicadas a un ejemplo concreto, el oscilador armónico (sistema animado de un MAS debido a una fuerza recuperadora)

A partir de la ecuación de un MAS podemos calcular la fuerza que debe actuar sobre un cuerpo o partícula de masa m para que oscile con dicho movimiento.

Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica y sustituyendo en ella el valor de la aceleración del MAS, tenemos:

Como m y w no varían, aparece una constante k (k = mw2) denominada constante elástica o recuperadora: F = -ky.

Esta expresión indica que en el MAS la fuerza es proporcional al desplazamiento y opuesta a él. Es decir, que se dirige siempre hacia el punto de equilibrio, punto en la que F se anula.

La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibro y proporcional a la distancia a éste.

A partir de las expresiones anteriores podemos obtener relaciones que ligan la pulsación y el periodo de este movimiento con la masa m y la constante k.

y puesto que T = 2/w, podemos calcular el periodo de un movimiento producido por una fuerza recuperadora:

El período de un oscilador sometido a una fuerza elástica depende de su constante recuperadora y de su masa, pero no depende de la amplitud del movimiento.

4. ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE

Un cuerpo con un MAS. posee dos tipos de energía: cinética, asociada a su movimiento, y potencial elástica, asociada a la posición que ocupa. Las energías cinética y potencial son ambas funciones periódicas del tiempo, puesto que tanto la velocidad como la posición lo son. Sin embargo, la suma de ambas cantidades no depende del tiempo, sino que es una constante. Este fenómeno es lo que se conoce como el principio de conservación de la energía mecánica en un MAS.

De la expresión anterior se desprende que cuando y = 0, la Ec es máxima, y cando y = A (en los extremos) la Ec es mínima e igual a cero.

Las fuerzas elásticas, como las gravitatorias, son conservativas porque tienen asociada una energía potencial que depende de la posición. Precisamente, la energía potencial que posee un oscilador que está situado a una distancia y de la posición de equilibrio, viene dada por la expresión:

La energía potencial es máxima en los extremos y nula en el centro de oscilación. El mínimo de Ep corresponde al punto donde el cuerpo es estable (al igual que pasaba con los campos gravitatorio y eléctrico).

La suma de las energías cinética y potencial de un oscilador armónico en un punto

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