PROYECTO GATORADE: CÁLCULO DE VOLUMEN DE UN CUERPO POR EL MÉTODO DE SIMPSON

Universidad Politécnica del Estado de Morelos. Ingeniería en biotecnología. Cuarto Cuatrimestre Grupo C. Cálculo Integral. 04 de diciembre de 2022.

PROYECTO GATORADE: CÁLCULO DE VOLUMEN DE UN CUERPO POR EL MÉTODO DE SIMPSON.

Presenta:

Jiapsi Aylin Jahen Salgado.

RESULTADOS

La siguiente ecuación representa el volumen de una botella de Gatorade de 600 ml:

[pic 1]

Ecuación 1. Donde b es la última distancia horizontal a la que se registró el radio de la botella, a es la primera distancia a la que se registró el radio de la botella y r es el radio del círculo que se forma al segmentar la botella como se muestra en la Figura 1.

Considere la siguiente figura para ayudar a la visualización de la Ecuación 1:

[pic 2][pic 3]

   [pic 4]

              [pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

Figura 1. Botella de gatorade segmentada.

Se definió la constante por la cual se multiplicaría la sumatoria de los valores del radio al cuadrado con la siguiente fórmula:

[pic 15]

Ecuación 2. Donde c es el número por el cual se debe multiplicar la sumatoria de los radios al cuadrado y n el número de segmentos en los que se dividió la botella.

Se sustituyó en la Ecuación 2:

[pic 16]

En la Tabla 1 se muestran los datos de las mediciones y el tratamiento para su utilización. La sumatoria de los cuadrados de los radios tuvo un valor de 563.908454 el cual se multiplicó por 1/3 y por el valor de pi, obteniéndose un valor final de 590.523552 cm3, los cuales equivalen a 590.523552 ml un valor muy cercano a los 600 ml.

Como método alternativo para calcular el volumen de la botella, se graficó el radio de los circulos que se formaban al segmentar la botella en cada una de las distancias a las que se encontraban dichos círculos. Posteriormente se aplicó una regresión polinómica de grado 6, se obtuvo la ecuación de la linea de tendencia y el valor de R2 (Gráfica 1).

[pic 17]

 [pic 18]

Gráfica 1. Radio de los círculos en función a la distancia en que se realizó su medición.

Se calculó la integral de la ecuación mostrada en la gráfica elevada al cuadrado utilizando Symbolab,  obteniéndose el siguiente resultado:

[pic 19] 

Figura 2. Cálculo de la integral evaluada en 0  y 21.

Como se apreció en la Figura 2, el valor resultante de la integral fue de 182.83429 cm2 el cual al multiplicarse por pi cm resulta en un valor de 574.3908623 cm3  un valor cercano al encontrado anteriormente para el volumen de la botella utilizando el método de Simpson.

Finalmente, ambos valores: 590.523552 cm3 y 574.3908623 cm3, se acercan mucho al valor que la botella reportó desde fabricante: 600 cm3; por lo que se consideró que la aplicación del método de Simpson y del método donde se utilizó la integral de la ecuación obtenida a partir de la regresión polinomial son eficientes en la determinación de volúmenes de cuerpos.

ANEXO

Vista aumentada de la integral calculada por  Symbolab:

 [pic 20]

Vista aumentada de la ecuación calculada con regresión polinomial:

[pic 21]

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