Proyecto de cálculo

[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]Objetivos

• Promover el uso de aplicaciones digitales en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
• Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares.
• Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de

diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica yla interpretación.

• Relacionar e interpretar situaciones problemáticas mediante el uso de funcionestrigonométricas.
• Justificar y validar distintos conceptos de cálculo 1 analítica o gráficamente.

1. Ingresar a https://www.geogebra.org/calculator o descargarse la calculadora con aplicación de Geogebra en su computador o dispositivo electrónico en https://www.geogebra.org/download.

1. Utilizando el programa Geogebra, grafiquen las funciones que se presentan a continuación. Para cada función indiquen su gráfica, dominio, amplitud, período, ceros de la función (valores de x donde la función es cero) y si existe desplazamientos, estiramiento o reflexión con respecto a la función original de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑦 = cos(𝑥), 𝑦 = tan (𝑥).

a) f(x) = 4sen (2x + 2𝜋)

[pic 5][pic 6]

Dominio: x ∈ R (x toma cualquier valor) Amplitud: Su amplitud es de 4

Periodo: 𝜋        Ceros de la función: 𝑘𝜋 con k=1,2,3, …[pic 7]

2

Comparando con la función sen(x) notamos que existe un estiramiento en la amplitud, pues está ahora es de 4, el periodo en el caso de esta función se reduce a la mitad de la original, es decir se contrae teniendo una función más alargada para f(x) y contraída para los valores del argumento.

1. f(x) = cos (x + 𝜋)

[pic 8][pic 9]

Dominio: 𝑥 ∈ ℝ (x toma  cualquier valor)        Amplitud: Su amplitud es de 1

Periodo: 2𝜋 = 2𝜋        Ceros de la función: 𝑘𝜋 con k=1,2,3,…[pic 10][pic 11]

1        2

Comparando con la función cos(x) notamos que tanto el periodo como la amplitud se conservan, sin embargo, esta desplazada 𝜋 Hacia la derecha, por lo que ahora el valor para el argumento 0 corresponde a -1

1. f(x) = 5sen (-3x)

[pic 12][pic 13]

Dominio: x ∈ R        Amplitud: 5

Periodo: − 2𝜋[pic 14]

3

Ceros de la función: 𝑘𝜋

3[pic 15]

K ∈ Z

Amplitud: se amplió en relación al eje y 5 puntos.

d) f(x) = 3cos (4x - 𝜋)

[pic 16][pic 17]

Dominio: x ∈ R        Amplitud 3

Periodo : 𝜋        Ceros De La Función: 𝜋 + 𝑘𝜋[pic 18][pic 19][pic 20]

2        8        4

El estiramiento es completamente diferente a la función cos(x) ya que esta tiene una amplitud de 3

e) f(x) = tan (10x + 3𝜋)

2[pic 21][pic 22]

Dominio: 𝑅 − { 𝜋 − 𝜋 }        Amplitud: Su amplitud es de 1[pic 23][pic 24]

Periodo: 𝜋[pic 25]

10

10        10

Ceros De La Función: 𝑥 = 𝜋[pic 26]

20

+ 𝜋𝑘

10[pic 27]

3𝜋[pic 28]

En esta se observa cómo va a estar contraída por un factor de 10 con un desplazamiento de

izquierda.

2 hacia la

f) f(x) = tan (-6x) +8

[pic 29][pic 30]

Dominio: 𝑅 − {− 𝜋 − 𝜋𝑛}        Amplitud: Su amplitud es de 1[pic 31][pic 32]

Periodo: − 𝜋[pic 33]

6

12        6

Ceros De La Función: 𝑋 = 0.2410 … + 𝑘𝜋[pic 34]

6

A diferencia de la función tan(x) esta se encuentra contraída por un factor de 6 con el negativo nos damos cuenta que se refleja con respecto al eje y, además de tener un desplazamiento 8 espacios más arriba que la función tan(x).

1. Ingresar al siguiente enlace https://www.geogebra.org/m/VynZaCx8 y realizar lo siguiente:

1. Observar el applet e identificar los elementos que se describen.

Podemos observar las funciones seno y coseno, la función seno tiene un periodo de π mientras que la función coseno un periodo π/2, ambas funciones tienen una amplitud de 1.

1. Buscar la relación entre el valor del ángulo expresado en grados y radianes.

Los grados y los radianes, se pueden relacionar ya que un ángulo de 360° equivale a 2π.

1. Investigar en cada cuadrante como varían los valores de seno y coseno al aumentar el valor del ángulo.

En el primer cuadrante, que corresponde a los ángulos de 0 a 90°: Seno: el seno comienza en 0 y crece hasta llegar al valor de 1.

Coseno: El seno comienza en el valor de 1, y decrece hasta llegar al valor de 0.

1. Mover el deslizador y comparar para los distintos ángulos el segmento correspondiente al seno o coseno y el gráfico. Usar los puntos F y G para ayudarte en la comparación. Presta especial atención a los ángulos: 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.

• 0°: seno=0 coseno=1[pic 35]
• 30°: seno=1coseno=√3

2[pic 36]

[pic 37]

• 45° seno=√2[pic 38]

2

[pic 39]

• 60° seno=√3[pic 40]

2

2

[pic 41]

coseno= √2

2

coseno=1[pic 42]

2

• 90° seno=1 coseno=0

1. Si alejan el gráfico (haciendo Ctrl -) podrán observar que la gráfica es periódica. Dar una explicación de porqué sucede esto.

Las funciones trigonométricas suelen ser periódicas, esto quiere decir que cada cierto punto la gráfica se repite. En este ejemplo se da la identidad de Seno y coseno, en la cual vamos a tener que cada 2𝜋 la gráfica se vuelve a repetir. La diferencia entre ellas sería que el seno empieza desde el 0 y coseno empieza desde 1.

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