Proyecto De Calculo

PROYECTO FINAL

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

CONSERVACION DE RECURSOS RENOVABLES

(EXTINCION DE LA BALLENA PIGMEA)

Camilo Andrés Nova Sarmiento

Sebastián Camilo Guzmán

ECUACIONES DIFERENCIALES

Jhon F. Moreno

Departamento De Ciencias Básicas

FACULTAD DE ING. CIVIL

BOGOTA D.C.

2008

INTRODUCCION

Hay muchos recursos naturales renovables que los humanos desean usar, como por ejemplo el salmón y el halibut del océano pacifico, La trucha de los grandes lagos, los árboles de los bosques, los venados y las galleteras que se cazan anualmente. Los recursos no renovables, como el carbón, el petróleo, el gas o los minerales, no se consideran aquí. Es preferible desarrollar una política que permita el máximo usufructo de un recurso natural renovable, que agote ese recurso por debajo de un nivel sustentable, el proceso de planeación supone que no hay intervención de los humanos, razón por la cual se aplicara una ecuación diferencial de logística la cual nos permita representar la población de dicho recurso natural renovable en un tiempo determinado, teniendo en cuenta los diversos factores que la afecten como lo son la tasa de crecimiento y una constate que represente la capacidad portadora que exista en el ambiente, (que también se conoce como el nivel de saturación o población limite), Los valores de dichas constantes se determinaran de manera experimental, además de todo esto se tendrá en cuenta que los humanos afectan de manera directa la extinción de estos recursos naturales.

En el proyecto de investigación nos encaminaremos en aplicar una ecuación diferencial para modelar como se comporta un tipo de espécimen en peligro de extinción, ya que basándonos en la ecuación general desarrollada por COLIN W. CLARK podremos enfocarnos en desarrollar un método mas apropiado para la conservación y sustentación de esta especie que se encuentra en peligro de acabarse, aplicando conceptos básicos de ecuaciones diferenciales, interpretación de graficas y funciones matemáticas que nos brindaran posibles formas para evitar la decadencia total de esta especie.

Nuestro Problema a investigar será ¿entender como sucede la extinción de la ballena pigmea a través de la ecuación diferencial de logística, saber que tan grande puede ser el beneficio, para que sea sustentable y formular una solución para evitar la extinción?

OBJETIVOS

 Desarrollar la ecuación logística partiendo de los valores conocidos en relación de las ballenas pigmeas.

 Analizar los diferentes factores que influyen en el problema para enfocar a la solución del problema.

 Establecer cuales son las condiciones básicas necesarias para que la población existente se pueda aplicar al modelo matemático mencionado anterior mente

 Estimar valores reales para la aplicación del modelo matemático

JUSTIFICACION

Este proyecto tiene no solo fines de investigación teórica, si no que tratamos de enfocar unas posibles soluciones a problemas reales que aquejan a la humanidad, basándonos en proyecciones matemáticas para obtener modelos de situaciones cotidianas.

Un problema que en las últimas décadas ha aquejado a la sociedad mundial es el problema de la conservación de los recursos renovables, los cuales no solo se deben cuidar si no que se le deben dar un trato especial y muy estricto frente a las restricciones que estos tienen, para poder aprovechar de ellos sin saturar e instaurar el recurso, creando así un equilibrio entre las humanidad y la naturaleza.

En específico con el proyecto intentaremos formular nuevas maneras del cuidado de los espécimen en peligro de extinción como lo es la ballena franca enana o ballena pigmea teniendo la dificultad que tiene para procrear y lo difícil que es encontrar este tipo de mamífero tratando de hacer el menor daño posible al medio ambiente teniendo en cuenta que será necesario capturar una cantidad determinada de ballenas para llevar a cabo el proceso experimental del modelo matemático.

MARCO TEÓRICO

BALLENA PIGMEA O BALLENA FRANCA ENANA.

Perteneciente a una familia de ballenas de barba que comprende un único género y una única especie, a pesar de su nombre vernáculo, tiene más en común con la ballena gris y el rorcual común que con ballenas francas.

La Ballena pigmea es difícil de encontrar y por tanto ha sido poco estudiada. Se sabe que es por lejos la más pequeña del suborden Mysticeti, con adultos que llegan a medir hasta 6,50 metros de longitud, con un peso de entre 3.000 y 3.500 kilogramos.

El color de la ballena pigmea es gris oscuro en el dorso y más claro en el vientre, generalmente con un par de manchas detrás de los ojos. Estas características pueden crear confusión con las ballenas Minke, aunque la diferencias se encuentras en las mandíbulas y aletas.

Las mandíbulas de la ballena pigmea no es tan pronunciada como la de las ballenas francas, aunque sigue siendo parecida a una Minke. Pero las largas placas color crema con una distintiva línea blanca en la encía son la característica diferencial más segura. A diferencia de las ballenas francas, no presentan callosidades sobre la piel.

En un avistaje, la ballena franca enana suele no mostrar la aleta dorsal sobre la superficie del agua, ni tampoco emerge la aleta caudal, como es casi permanente en las Minke.

Los análisis del contenido estomacal de ejemplares muertos demuestran que la ballena franca enana se alimenta principalmente de krill y pequeños crustáceos. No se sabe si las zonas de alimentación son cerca de las costas o en alta mar. Igualmente el comportamiento social y de apareamiento no está bien determinado. La ballena es avistada usualmente sola o en pareja, y solo puntualmente se han informado grupos de hasta 10 animales.

La ballena pigmea o franca enana es uno de los cetáceos menos estudiados posiblemente a causa de su baja población. Se reportan muy pocos avistajes por año (en 1998 menos de 20).La especie vive en el hemisferio sur, y se cree que su hábitat es circumpolar, en una banda entre 30°S a 50°S. Se ha avistado ejemplares en Tierra del Fuego, 55°S, al sur de Argentina, y en las costas de Namibia, Australia y Nueva Zelandia. Existe un grupo que reside en forma endémica en los alrededores de Tasmania. La población total es desconocida.

ECUACION DE LOGISTICA

La ecuación logística es un segundo modelo sobre evolución poblacional que le pone más realidad al modelo de crecimiento exponencial. Donde se define a N( t ) como el tamaño de la población bajo estudio, y vamos a suponer que el coeficiente k es la tasa de crecimiento, el cual no será constante, y vamos a intentar explicar no solo porqué no será constante sino que también porqué asume el valor que vamos a proponer. En el modelo exponencial tenemos:

(1)

Que los nuevos miembros de la población van a ser proporcionales al tamaño de la población con una constante de proporcionalidad k. Pues bien, lo que se propone aquí es lo siguiente: la tasa de crecimiento en condiciones "normales" será constante o aproximadamente constante, pero en esta tasa de crecimiento se debe reflejar el hecho de que si la población aumenta considerablemente ese mismo tamaño va a inhibir el crecimiento o se reducirá los nuevos miembros de la población, es decir esta nueva tasa de crecimiento será de la forma

(2)

Donde el factor a indica una tasa de crecimiento "en condiciones normales" y el factor b N( t ), con b > 0, indicará el retardo en la tasa a cuando la población N( t ) sea muy grande. Entonces reemplazando (2) en (1) obtenemos

Formando el cociente de Newton y pasando al límite

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