PRUEBAS DE UNA Y DOS MUESTRAS REFERENTES A VARIANZAS

 10.10 PRUEBAS DE UNA Y DOS MUESTRAS REFERENTES A VARIANZAS

Varianza: La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media.

Para una sola muestra, empecemos por considerar el problema de probar la hipótesis nula H0 de que la varianza de la población σ2 es igual a un valor específico  contra una de las alternativas comunes σ2 < , σ2 >  o σ2 ≠ . El estadístico apropiado sobre el que basamos nuestra decisión es el estadístico chi cuadrada al ser sólo una muestra de la cual partimos para realizar el análisis. Por lo tanto, si suponemos que la distribución de la población que se muestrea es normal, el valor de chi cuadrada para probar σ2 =  es dado por:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

[pic 6]

Donde n = tamaño de la muestra, s2 = la varianza muestral y es el valor de σ2 dado por la hipótesis nula.[pic 7]

EJERCICIO: Un fabricante de baterías para automóvil afirma que la duración de sus baterías se distribuye de forma aproximadamente normal con una desviación estándar igual a 0.9 años. Si una muestra aleatoria de 10 de tales baterías tiene una desviación estándar de 1.2 años, ¿considera que σ > 0.9 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

σ = 0.9  σ2 = 0.81[pic 8]

S = 1.2  s2 = 1.44[pic 9]

n = 10 [pic 11][pic 10]

 = 0.05[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]Como la hipótesis alternativa indica que la  varianza es mayor que la zona de rechazo se encuentra a la derecha del punto crítico encontrado en las tablas (cola superior). Comparamos los resultados de X2 con la tabla y concluimos que no se descarta que la desviación estándar de las baterías sea de 0.9 años, es decir, la información brindada por la muestra no es suficientemente contundente para afirmar que la D.E de las baterías es mayor a 0.9 años.[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

Para los casos en donde se requiera comparar 2 muestras diferentes se busca comprobar la igualdad de las varianzas en cuestión  y . Para esto, probaremos la hipótesis nula H0 de que  =  contra una de las alternativas usuales:   < ,  > , o .[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

Para muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2, respectivamente, de las dos poblaciones, el valor f para probar σ = σ es el cociente  donde  y  son las varianzas calculadas de las 2 muestras. [pic 38][pic 39][pic 40]

Cuando se analizan 2 muestras, las medidas de prueba se harán con base al modelo de Fischer utilizando las tablas de distribución F. En general, el siguiente cuadro resume los posibles planteamientos de las hipótesis con sus respectivas estadísticas de prueba y regiones de rechazo utilizando la distribución de Fischer:

Cuadro de planteamiento de hipótesis, sus estadísticos de prueba y zonas de rechazo

La notación  indica que se debe considerar el valor crítico de la tabla F-Fischer con grados de libertad en el numerador, grados de libertad en el denominador y con un nivel de significancia [pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

EJERCICIO:

Se llevó a cabo un experimento para comparar el desgaste por abrasivos de dos diferentes materiales laminados. Se probaron 12 piezas del material 1 exponiendo cada pieza a una máquina para medir el desgaste. Se probaron 10 piezas del material 2 de manera similar. Suponga que la varianza entre estas 2 muestras es igual. Si las muestras del material 1 tienen una desviación estándar muestral de 4; en tanto que las muestras del material 2 tienen una desviación estándar muestral de 5. ¿Se justifica tal suposición? Utilice un nivel de significancia de 0.10 = [pic 61]

NOTA: Como no se especifica si se quiere saber si la varianza de una muestra es menor o mayor que la de la otra, la hipótesis alternativa es . y se evalúan las 2 colas de la gráfica (ambas zonas de rechazo).[pic 62]

DATOS:

H0:  = [pic 63][pic 64]

H1: .[pic 65]

                 n1 = 12. Por lo tanto, n-1 = v1 = 11 grados de libertad [pic 66]

 = 5                n2 = 10. Por lo tanto, n-1 = v2 = 9 grados de libertad[pic 67]

0.10 = [pic 68]

1) Calcular f: [pic 69]

2) Determinar el o los valores críticos de f:

MUESTRA 2: [pic 70]

MUESTRA 1: = 3.11[pic 71]

[pic 72]MUESTRA 2

[pic 73]MUESTRA 1

3) Delimitar las zonas de rechazo y no rechazo en la gráfica y concluir.

[pic 74]

[pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]

[pic 80][pic 81]

[pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92]

[pic 93]

[pic 94][pic 95][pic 96]

Debido a que el valor f calculado con los datos de las muestras se encuentra en la zona de no rechazo, no rechazamos la hipótesis nula y concluimos que no hay suficiente evidencia que indica que las varianzas para el desgaste abrasivo de los materiales sean diferentes (NO descartamos que las varianzas sean iguales). Dicho de otro modo, aunque las varianzas muestrales sean distintas, la evidencia recabada no es suficiente para afirmar que las varianzas de los materiales son distintas.

10.11 PRUEBA DE LA BONDAD DE AJUSTE

La prueba Chi cuadrado de bondad de ajuste es una prueba de hipótesis estadística que se usa para averiguar si es probable que una variable provenga o no de una distribución específica. Se emplea a menudo para determinar si los datos de una muestra son representativos de la población completa. La prueba se basa en el nivel de ajuste que existe entre la frecuencia de ocurrencia de las observaciones en una muestra observada y las frecuencias esperadas que se obtienen a partir de la distribución hipotética.

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