Parcial de matemática basica.

CURSO:

   Matemática Básica 2

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS                                              

FACULTAD DE INGENIERIA                               PRIMER EXAMEN PARCIAL

MATEMATICA BASICA 2                                                               11082015A

TEMA 1                                                                                                                                    (  20 PUNTOS)

1.  ¿Para qué valor  de la función f es continua en todos los reales?[pic 2]

[pic 3]

b.       Después de hallar el valor  de c. Encuentre  como una función, indicando su dominio.[pic 4]

TEMA 2                                                (45 PUNTOS)

1. Usando leyes de límites calcule:

[pic 5]

b.  Derive la función[pic 6]

c. Determinesi [pic 7][pic 8]

TEMA 4                                                                                        (20 PUNTOS)

1. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva utilizando la definición de derivada como límite.[pic 9]
2. Luego encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto .[pic 10]

TEMA 5            

Si son las funciones cuyas gráficas se muestran. Sea[pic 11][pic 12]

Hallar

1. [pic 13]

1. Para que valores de x no es derivable  y porqué. (sin explicación no tiene valor)[pic 14]

1. Esboce la gráfica de [pic 15]

(15 PUNTOS)

[pic 16]

No.

Explicación

Operatoria

1.

Como primer paso para la solución del problema  centraremos  el estudio de la continuidad de f  en el valor  . Para ello debemos de analizar si los tres requerimientos de continuidad se satisfacen en dicho valor. Dado que las ecuaciones que constituyen la función f  son a su vez funciones continuas, el primer requisito está satisfecho.  Para el segundo requisito debemos recordar que la existencia del límite implica que los limites laterales sean iguales, es decir[pic 19][pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

2.

Para el miembro izquierdo de la ecuación 4, la forma funcional que adopta f  es la expresión   cuando , por lo tanto.[pic 26][pic 27]

)[pic 28]

3.

Este límite se puede evaluar utilizando la regla de sustitución directa lo que da origen a la siguiente ecuación.

[pic 29]

4.

Para el miembro derecho de la ecuación 4, la forma funcional que adopta f  es la expresión   cuando , por lo tanto.[pic 30][pic 31]

)[pic 32]

5.

Nuevamente, el límite se puede evaluar utilizando la regla de sustitución directa  dejando la siguiente ecuación.

[pic 33]

6.

Ahora podemos igualar los límites laterales  y  con lo cual obtenemos la ecuación. [pic 34][pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

7.

De la cual se desprende el siguiente resultado para el valor de la constante c

[pic 39]

No.

Explicación

Operatoria

1.

Al realizar el proceso anterior, en donde se determino que para que la función  sea continua en los Reales, c toma el valor igual a 3, para el presente inciso se procede a derivar ambas partes de la función.[pic 41]

[pic 42]

2.

Para determinar la derivada de  se aplican las reglas básicas de derivación. Cuando la función adopta la forma funcional de , el término cuadrático es derivable y según la regla nos dice que al exponente se le debe restar 1 y el exponente original será el término constante que acompañe a dicha variable. Y para el término constante, su derivada es 0.[pic 43][pic 44]

[pic 45]

3.

Cuando la función  adopta la forma funcional de , ambos términos son derivables debido a su continuidad, entonces según la regla de derivación, al primer término se le debe restar 1 a su exponente y multiplicarlo por el coeficiente constante que lo acompaña (en este caso 6), pero como el exponente es 1, al restarle 1 dará como resultado 0. Como toda expresión elevada a la potencia 0 da como resultado 1 y cualquier expresión multiplicada por 1 da como resultado el mismo número, entonces la derivada del primer término es 6. Y la derivada del término constante es 0.[pic 46][pic 47]

[pic 48]

No.

Explicación

Operatoria

1.

El límite indicado no es posible evaluarlo por medio de sustitución directa, esto debido a que al realizarlos de esa manera se obtiene la forma indeterminada , de tal manera que la expresión requiere un arreglo algebraico para que sea posible realizar la sustitución directa.[pic 50]

[pic 51]

(Por sustitución directa sin ningún arreglo)

2.

Se sabe que a partir de la teoría de los valores absolutos, éstos poseen una parte negativa y otra parte negativa. En el caso de la expresión  el valor de t que hace cero el valor absoluto es , Entonces para valores mayores o iguales a , la expresión tomará valores positivos y mientras sea menor que  adaptará su valor negativo.[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

[pic 56]

3.

De igual manera que el valor absoluto inicial, también se aplica la misma metodología para , la cual cuando t sea igual a     el valor absoluto se hace cero. Entonces para valores mayores o iguales a - , la expresión tomará valores positivos y mientras sea menor que  adaptará su valor negativo.[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

[pic 61]

4.

Debido a que el límite que deseamos evaluar no indica que t tiende a cero, se debe seleccionar la parte correcta de cada valor absoluto que incluya al número 0. Por lo anteriormente mencionado, para la expresión  se selecciona su parte negativa, debido a que existe cuando  ya que incluye al número cero. Por otra parte, de la expresión  se selecciona su parte negativa porque ésta existe cuando  ya que incluye al número 0.[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

5.

Seguidamente de seleccionar los valores absolutos que satisfacen el valor de t cuando tiende a cero, se procede a sustituir dichos valores en la expresión del límite inicial.

[pic 68]

6.

Al simplificar, los valores de 1 y -1 se cancelan.

[pic 69]

7.

Se cancela t en el numerador con t en el denominador.

[pic 70]

8.

Ahora ya es posible evaluar el límite por sustitución directa, pero como ya no se tiene ninguna variable t, el resultado es el número obtenido mediante la simplificación.

[pic 71]