Matematicas Basicas

TEMA 1: EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES

1. NÚMERO NATURAL es aquel que nos sirve para contar los elementos que existen en la naturaleza.

Al contar los elementos que existen en la naturaleza estamos estableciendo una coordinación entre el conjunto de los elementos de la naturaleza y el conjunto de los números naturales (son conjuntos coordinables).

Son conjuntos coordinablespor que entre ellos se establece una relación biunívoca, es decir al elementos de primer conjunto (elementos de la naturaleza) le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto (de los números naturales).

Esto da origen al cardinal de un conjunto (número de elementos que contiene un conjunto), es decir al último elemento del conjunto N que corresponde al último elemento del conjunto que contamos.

Llamaremos ordinal al número natural que corresponde a cada elemento del conjunto contado.

2. SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES es el conjunto de los números naturales provistos de una relación de igualdad, de una relación de desigualdad, de una relación de orden y de las operaciones de suma , resta, multiplicación y división

2.1. RELACIÓN DE IGUALDAD

Dos números naturales son iguales si poseen igual número cardinal, corresponden a conjuntos coordinables equivalentes.

Propiedades de la Igualdad

Propiedad reflexiva: En el conjunto N todo número es igual a sí mismo.

a ε N → a = a

Propiedad simétrica: Si un número natural es igual a otro, éste es igual al primero.

( a, b) ε N → a = b ^ b = a

Propiedad Transitiva: Si un número natural es igual a otro y éste es igual a un tercero, el primero es igual al tercero.

( a, b,c) ε N → a = b ^ b = c → a = c

2.2. RELACIÓN DE DESIGUALDAD

Dos números naturales son desiguales si poseen diferente número cardinal, corresponden a conjuntos no coordinables.

2.2.1. Tipos de desigualdad:

MAYOR QUE: Un número natural es mayor que otro si una parte del cardinal del primer conjunto es cardinal con el segundo conjunto.

MENOR QUE: Un número natural es menor que otro si el cardinal del primer conjunto es cardinal con una parte del segundo conjunto.

2.2.2. Propiedades de la desigualdad

Propiedad irreflexiva: En el conjunto N todo número no es ni mayor ni menor que sí mismo.

a ε N → a < a ó b ε N → b > b

Propiedad asimétrica: Si un número natural es mayor o menor que otro, esto no significa que el segundo sea también mayor o menor que el primero, respectivamente.

( a, b) ε N → a < b ^ b < a ó

( a, b) ε N → a = b ^ b = a

Propiedad Transitiva: Si un número natural es mayor o menor que otro y éste es mayor o menor que un tercero, el primero es mayor o menor que el tercero, respectivamente.

( a, b,c) ε N → a < b ^ b < c → a < c ó

( a, b,c) ε N → a > b ^ b > c → a > c

Si el sistema N consiente la relación de igualdad y sus propiedades, así como la relación de desigualdad y sus propiedades, entonces consiente también la propiedad de orden.

Si el sistema N consiente la relación de orden, entonces podemos de coordinar el conjunto N con los puntos sucesivos de una recta.

LA ADICIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES

La adición de los números naturales es la operación que nos permite reunir varios números naturales en uno solo, equivalente a la suma de todos ellos.

Propiedades de la adición:

Conmutativa o de simetría:

El orden de los sumandos no altera la suma.

( a, b) ε N → a + b = b + a

5 + 3 = 3 + 5

Asociativa:

En la adición de varios sumandos, dos o más de ellos pueden reemplazarse por su suma parcial sin que varíe el resultado final

( a, b,c) ε N ^ a + b + c = ( a + b ) + c

5 + 3 + 7 = 3 + ( 5 + 7 )

De clausura:

La adición de dos números naturales es siempre otro número natural.

( a, b) ε N → a + b = c → c ε N

5 + 3 = 8 → 8 ε N

Modulativa o del elemento neutro:

La adición de todo número natural con el cero, nos da siempre el mismo número

a ε N → a + 0 = a

5 + 0 = 5

Uniforme o cancelativa: Si a los dos miembros de una igualdad se les suma un mismo número, se obtiene otra igualdad.

(a, b,c,d, f) ε N ^ a + b = c + d

→ a + b + f = c + d + f

5 + 3 = 6 + 2

7 = 7

5 + 3 + 7 = 6 + 2 + 7

15 = 15

Monotonía: (Desigualdades) La ley de monotonía , con respecto a la adición, se divide en dos partes y un escolio:

1ª Parte: Si se suman miembro a miembro, los términos de una igualdad con los de una desigualdad, el resultado será una desigualdad del mismo sentido que la dada.

∀ a,b,c ∈N:

a = A 8 = 8

b > C 12 > 2

a +b > a + c 20 > 10

2ª Parte: Si se suman miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, el resultado será otra desigualdad del mismo sentido que las dadas.

∀ a,b,c,d,e,f∈N:

a > B 9 > 8

c > D 12 > 2

e > F 5 > 3

a +c + e > b + d +f 26 > 13

Escolio: Si se suman miembro a miembro dos desigualdades de distinto sentido, el resultado no se puede anticipar.

SUSTRACCIÓN EN EL SISTEMA N

Llamamos sustracción a la operación donde teniendo dos números, uno mayor (minuendo) y otro menor (sustraendo) obtenemos un tercero (diferencia) tal que sumados estos dos últimos, nos de el primero.

PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN:

Si al minuendo y al sustraendo le sumamos una misma cantidad, la diferencia no varía.

M – S = D → (M + n) – (S + n) = D

Ejemplo: 27 – 13 = 14 → (27 + 5) – (13 + 5) = 14

Propiedad del 0:

La sustracción de cualquier número natural con el cero es igual al mismo número natural

a ε N → a – 0 = a

Pero no podemos decir que es propiedad Modulativa, ya que

a – 0 = a → a ε N pero 0 - a ∉ N

Propiedad de uniformidad:

Si se sustraen miembro a miembro dos igualdades y la sustracción es posible, la igualdad subsiste.

(a, b,c,d, f) ε N ^ a – b = c – d

→ a – b – f = c – d – f

Ley de monotonía: Con respecto a la sustracción presenta tres casos principales.

1º Si a los dos miembros de una desigualdad se les resta un mismo número (siendo posible la resta), se obtiene del mismo sentido

Si:

a > b entonces a - c > b - c

a < b entonces a - c < b - c

2º Si a los dos miembros de una igualdad se le restan (si es posible la resta) respectivamente los miembros de una desigualdad, se obtiene otra desigualdad pero de sentido contrario a la dada

Si:

a = a - 8 = 8 -

b > C 6 > 5

a - b < a - c 2 < 3

3º Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, se obtiene una desigualdad con el sentido de la primera (en caso que se pueda realizar la resta)

a< b - 5 < 8 -

c > d 4 > 3

a – c< b – d 5 – 4 < 8 – 3

1< 5

Propiedad fundamental: La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo

M – S = D → M + S + D = 2M

9 – 7 = 2 → 9 + 7 + 2 = 2(9) = 18

Nota: La sustracción no es ni conmutativa, ni asociativa.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Si conocemos la suma y la diferencia de dos números

El número mayor es igual a la semisuma de la suma más la diferencia:

Nº mayor= (S+D)/2

Ejemplo: La suma de dos números es 58 y su diferencia 12, Halla el número mayor:

Nº mayor= (58+12)/2= 70/2=35

El número menor es igual a la semidiferencia de la suma menos la diferencia:

Nº menor= (S-D)/2

Ejemplo: La suma de dos números es 58 y su diferencia 12, Halla el número menor:

Nº menor= (58-12)/2= 46/2=23

COMPLEMENTO ARITMETICO DE UN NÚMERO

Llamamos complemento aritmético de un número, a lo que le falta al número para valer una unidad de orden inmediato superior.

Ejemplos:

El complemento aritmético de 8 es 10 – 8 = 2

El complemento aritmético de 93 es 100 – 93 = 7

El complemento aritmético de 725 es 1000 – 725 = 275

REGLA PRÁCTICA PARA CALCULAR EL COMPLEMENTO ARITMÉTICO

Se restan cada una de las cifras de 9, de izquierda a derecha, excepto la última cifra significativa que se resta de 10.

Ejemplos:

El complemento aritmético de 93

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