Pendulo compuesto y determinar la aceleración de la gravedad

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA

EXPERIMENTO Nº 1 FISICA II-P.A

I.-OBJETIVO: Estudiar las propiedades de un péndulo compuesto y determinar la aceleración de la gravedad.

II.- FUNDAMENTO TEORICO: Todo cuerpo rígido montado sobre un eje horizontal de tal manera que oscile bajo la influencia de la gravedad se denomina Péndulo Compuesto ò Físico.

El movimiento del cuerpo es una vibración angular alrededor del eje de suspensión.

Fig.1

Donde “h” es la distancia del eje de suspensión al entro de gravedad. El signo negativo nos indica que el torque N es opuesto al desplazamiento “x”, luego tenemos:

αI= -mgh senx, donde α= aceleración angular (2)

Cuando el desplazamiento “x”, es suficientemente pequeño se emplea que senα~xm medido en radianes, entonces la ecuación 2 se transforma en:

α= -mghx/I (3)

Y como m, g, h e I son constantes para un caso particular dado, la ecuación se transforma en:

d²x/dt²= -mghx/I-w²x (4)

donde w es constante

La ecuación (4) es una ecuacion del movimiento angular armónico simple, donde la aceleración angular es DP al desplazamiento angular y de sentido opuesto.

Por consiguiente:

d²x/dt² + w²x=0 (5)

cuya ecuación es:

x=asenwt + bcoswt

Donde:

w=√(mgh/I) y a, b son ángulos (6)

Pero como: P=2^n/w tenemos P=2√(n&I/mgh) (7)

Donde P es el periodo del péndulo compuesto, I es la inercia rotacional del cuerpo alrededor e un eje a través de su centro de gravedad G.

Si la masa del cuerpo es m˚

I˚=mk˚² (8)

Donde k˚ es el radio de giro alrededor de un eje a través de G. Para un cuerpo regular kº puede ser calculado por medio de la fórmula apropiada; para un cuerpo irregular Kº se determina experimentalmente.

Por otro lado:

I=Iº + mh² (9)

Donde h es la distancia entre los dos ejes. Reemplazando (9) en (7) se tiene:

P= 2^n √(K²+h²/gh) (10)

Esta ecuación expresa el periodo en términos de la geometría del cuerpo. Desde que el radio de giro es una constante, el periodo en una función solamente de hº

Como el periodo de un péndulo simplemente es:

P=2^n √(1/g) (11)

La ecuación (10) nos dice que el periodo de un péndulo compuesto es igual al periodo de un péndulo simple , siempre que la longitud esté dada por:

1=(Kº+h²)/h= h+Kº/h (12)

El péndulo simple cuyo periodo es el mismo que el periodo del péndulo compuesto se llama “Péndulo Simple Equivalente”. Algunas veces es conveniente especificar la localización del eje de suspensión S por su distancia de un extremo de la barra en lugar de su distancia h del centro de gravedad G.

D

A e hº G hºº o B Fig. 2

Sºº

Si las distancias Sº y Sºº (Fig. 2) son medidas del extremo A, la distancia hº debe ser considerada negativa desde que h es medida de G. Así:

Sº= D + hº, Sºº= D + hºº y en general S = D + h

Reemplazando en la ecuación (10) obtenemos

P=2^n √(K²+(S-D)^2/g(S-D)) (13)

Las relaciones entre P y S expresada por la ecuación (13) pueden ser demostradas gráficamente. Cuando P es trazada como función de S se obtiene un par de curvas idénticas SQR y S`Q`R`(Fig.3). Al analizar estas curvas revelan muchas propiedades remarcables e importantes del péndulo compuesto.

P

Fig. 3 G

Como el eje es desplazado desde A hasta el otro lado de G, el péndulo otra vez disminuye a algún valor , mínimo en un segundo punto R después del cual otra vez aumenta. Una línea horizontal SS´ correspondiente a un valor elegido de P, intersecta la grafica en 4 puntos, indicando que hay 4 posiciones de los ejes, 2 sobre cada lado del centro de gravedad

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