Pendulo

PENDULO: Llamamos péndulo a todo cuerpo que puede oscilar con respecto de un eje fijo.

Péndulo ideal, simple o matemático: Se denomina así a todo cuerpo de masa m (de pequeñas dimensiones) suspendido por medio de un hilo inextensible y sin peso. Estas dos últimas condiciones no son reales sino ideales; pero todo el estudio que realizaremos referente al péndulo, se facilita admitiendo ese supuesto.

Péndulo físico: Si en el extremo de un hilo suspendido sujetamos un cuerpo cualquiera, habremos construido un péndulo físico. Por esto, todos los péndulos que se nos presentan (columpios, péndulo de reloj, una lámpara suspendida, la plomada) son péndulos físicos.

Oscilación - Amplitud - Período y Frecuencia:

A continuación estudiaremos una serie de procesos que ocurren durante la oscilación de los péndulos y que permiten enunciar las leyes del péndulo.

Daremos previamente los siguientes conceptos:

Longitud del péndulo (l) es la distancia entre el punto de suspensión y el centro de gravedad del péndulo.

Oscilación simple es la trayectoria descrita entre dos posiciones extremas (arco AB).

Oscilación completa o doble oscilación es la trayectoria realizada desde una posición extrema hasta volver a ella, pasando por la otra extrema (arco ABA). Angulo de amplitud o amplitud (alfa) es el ángulo formado por la posición de reposo (equilibrio) y una de las posiciones extremas.

Período o tiempo de oscilación doble (T) es el tiempo que emplea el péndulo en efectuar una oscilación doble.

Tiempo de oscilación simple (t) es el tiempo que emplea el péndulo en efectuar una oscilación simple.

Elongación (e). Distancia entre la posición de reposo OR y cualquier otra posición.

Máxima elongación: distancia entre la posición de reposo y la posición extrema o de máxima amplitud.

Frecuencia (f). Es el número de oscilaciones en cada unidad de tiempo.

f=numero de oscilaciones/tiempo

Relación entre frecuencia y periodo

T = período; f = frecuencia

Supongamos un péndulo que en 1 seg. Cumple 40 oscilaciones.

En consecuencia: 40 oscilaciones se cumplen en 1 seg., por lo que 1 osc. Se cumple en T=1/40 seg (periodo).

MOVIMIENTOS OSCILATORIOS

Uno de los fenómenos más interesantes que trata la física es la del movimiento que se repite a intervalos iguales o regulares de tiempo. A esta clase de movimientos se les llama periódicos u oscilatorios. En este capítulo en especial se trata con un movimiento oscilatorio simple el cual se llama armónico simple o más bien M.A.S.

Es importante anotar que se está familiarizado con estos movimientos oscilatorios en nuestra vida cotidiana, pues son extensos los ejemplos visibles en donde ellos se presentan, tales como el movimiento de una masa atada a un resorte, un péndulo, las vibraciones de una cuerda de un instrumento musical, las hojas de una rama de un árbol, los amortiguadores de un vehículo y otros más y así también los que nos son invisibles, pero que se detectan con los aparatos de medida, como las vibraciones de los átomos en un cristal, las corrientes eléctricas alternas, las ondas electromagnéticas y en general todos aquellos movimientos en la naturaleza que se repiten así mismos.

La mayor parte de lo que trata este capítulo es la del movimiento armónico simple o simplemente M.A.S que es una aproximación sencilla de todos los movimientos oscilatorios que se observan en nuestro diario transcurrir. Para ser más realistas con este tipo de movimientos oscilatorios se tendrá en cuenta otros tipos de movimientos oscilatorios no armónico simples tales como, las oscilaciones amortiguadas y las oscilaciones forzadas.

1.1 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.

Se dice que una partícula que se mueve a lo largo del eje x presenta un movimiento armónico simple cuando su desplazamiento x, desde la posición de equilibrio, varia en el tiempo de acuerdo con la función

donde A,  y  son constantes. La cantidad ( t +  ) se le conoce como la fase del M.A.S, y a  la constante de fase. Aunque se ha definido el M.A.S en términos de la función coseno , también se puede definir en términos de seno, simplemente la diferencia de fase entre las dos funciones es /2. El máximo desplazamiento de la posición de equilibrio ocurre cuando la función coseno (seno) es ± 1 o sea que

x(t)max.= ± A.

Por lo tanto A es la amplitud del M.A.S. La amplitud A y la constante de fase , se encuentran determinadas por las condiciones iniciales o por condiciones equivalentes a ellas. Como la función coseno (seno) es periódica x(t) = x(t + T) o sea que

cos(  t +  ) = cos (  ( t + T ) +  )

De aquí, se debe cumplir que  T = 2

Es el período que se mide en segundos y es el tiempo en el que el movimiento se repite así mismo y a  se le llama la frecuencia angular que tiene como unidades rad-s-1. El significado de esta última constante se dará más adelante.

Al numero de veces que el movimiento se repite así mismo en la unidad de tiempo se le conoce como frecuencia y generalmente se denota con f = 1/T y su unidad es el ciclo-s-1 o hertz ( Hz).

La velocidad de la partícula en el M.A.S es:

La aceleración de la partícula en el M.A.S es:

Las expresiones 1.4 y 1.5 muestran que v(t) y a(t) difieren de x(t) por una fase de /2 y  respectivamente y como se muestra en la figura 1.1.

Figura 1.1

Es importante observar que en el punto de equilibrio del sistema, vmáx.= ± A mientras que amáx.= ± A2 se obtiene en los puntos de máximo desplazamiento.

Una de las características más importantes que identifica al M.A.S y que resulta de la ecuación 1.5 es que la aceleración es proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento y se escribe como:

Ejemplo 1. Exprese la A y  del M.A.S en términos de la v(t) y x(t) en t=0.

De 1.1 y de 1.4

x(0) = x0 = Acos  y v(0) = v0 = - A sen 

Eliminando A de estas dos ecuaciones se obtiene:

tan  = - v0 /  x0

Además, tomando la suma X02 + (V0 /  )2 = A2 ( cos2 + sen2  ) se halla A, que es:

Ejemplo 2. Una partícula, con masa de 1 gramo, ejecuta un M.A.S alrededor del origen. En el tiempo t= 0 se encuentra en x= 0 y velocidad de -5 m-s-1 Regresa al origen 1 segundo después. Determinar A, f,  y x(t).

Como en el M.A.S, en cualquier tiempo el desplazamiento y la velocidad están dados por x(t) = Acos( t + ) y v(t) = -  Asen (  t +  ) respectivamente.

Cuando t= 0, se tiene que x(0) = Acos  = 0 lo que implica que = ± /2 y en ese mismo tiempo v(0) = -  Asen  = -5 m-s-1.

Como A y  son intrínsecamente positivas, se tiene que  = /2. Ahora bien, una partícula con M.A.S regresa a su posición dos veces en cada período, una vez en un sentido y en la otra en el otro sentido. Así, como regresa en un segundo, se tiene que T/2 = 1s por lo que T = 2s.

Entonces, f = 1/T = 0.5 Hz,  = 2f =  rad-s-1 y como  A = A = 5m-s-1 por lo que A=(5/ )m.

x(t) = (5/ cos(  t + /2) = (-5/ sen t).

1.2 FUERZA Y ENERGIA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.

El sistema mostrado en la figura 1.2 está formado por una masa M y un resorte de constante elástica K. Se Puede entender cualitativamente lo que le sucede cuando se desplaza la masa M una distancia x de su posición de equilibrio como en las figuras 1.2 a) y c), el resorte ejerce una fuerza sobre M en ambos casos dada por la ley de Hooke,

Esta fuerza es lineal recuperadora ya que es linealmente proporcional al desplazamiento y siempre se dirige hacia la posición de equilibrio, y opuesta al desplazamiento. Esto es, cuando la masa se desplaza hacia la derecha figura 1.2 a), x es positiva y la fuerza recuperadora es hacia la izquierda. Cuando la masa se desplaza a la izquierda de x = 0, entonces x es negativa y F es hacia la derecha.

a)

b)

c)

Figura 1.2

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de M se tiene:

Dividiendo la ecuación anterior por M y recordando que a = d2x(t)/ dt2 se expresa 1.8 como:

Si se define a 2 = K/M. Por lo tanto la ecuación diferencial 1.9 es:

La anterior ecuación es equivalente a la ecuación 1.6, por lo tanto la solución de esta ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea es:

Donde, A y  son constantes de integración dadas por las condiciones externas al problema particular tratado. Mientras que  es una constante natural del sistema, independiente de las condiciones externas. Es importante hacer notar que cada sistema oscilatorio en particular tiene su propio  y por lo tanto su propio T . El período es isocrónico para estos sistemas.

Para concluir, “cualquier sistema cuya ecuación de movimiento sea de la forma de la ecuación 1.10, corresponde a un movimiento armónico simple y tiene como solución a la ecuación 1.11".

La ecuación diferencial 1.10 se puede integrar "dos veces" y resulta la ecuación 1.11. Entonces, cuál es la primera integral?. Para ello se escribe la ecuación 1.10 de la siguiente forma:

Si a la ecuación 1.12 se multiplica por v(t) y M y se tiene en cuenta que K=M2 se obtiene:

que no es más que la derivada de una constante

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