Péndulo

Péndulo

Nos están pidiendo que determinemos el máximo desplazamiento, es decir, tenemos un problema de optimización (encontrar un valor del recorrido que sea máximo).

Estos problemas se resuelven sacando la primera derivada, la cual se obtienen así (recalco que la x en este caso representa el símbolo de multiplicación no una incógnita):

σ ' = (0)(cos 8t) + [ - sen 8t x 8 ] {Recuerda la regla de la cadena que es igual a: derivada de lo de afuera por la derivada de lo que esta adentro, es decir, derivada de cos 8t es - sen 8t y derivada de lo de adentro que es 8t, es 8}

Ya que tenemos la primera derivada, procedemos a determinar los puntos críticos (donde la derivada vale 0) que sería donde hay valores ya sea máximos o mínimos:

0 = 1/5 x -sen 8t x 8

0 = 8/5 x - sen 8t {Se pasa el 8/5 a dividir al cero, y cero entre cualquier número n: 0 / n, es igual a cero}

0 = -sen 8t {Multiplicamos por menos uno a ambos lados, como cualquier número por cero es cero}

0 = sen 8t

Ahora, como trabajamos con la función seno, debes o deberías de saber que esta toma los valores de 0 cuando su argumento es igual a 0 o 180 por lo que hay que encontrar los números que harían que 8t sea igual a 0:

t = 0 (porque 0 x 8 = 0) y t = 22.5 (22.5 x 8 = 180)

Ya tenemos los valores críticos. Ahora para saber cual es máximo o cual es mínimo, aplicamos el criterio de la segunda derivada, para ello sacamos la segunda derivada:

σ '' = -64/5 x cos 8t

Evaluamos los valores críticos en la segunda derivada, cuando la segunda derivada evaluado en un valor crítico es negativa, el valor es un máximo, cuando la seg. derivada es positiva, hay un mínimo:

σ '' (0) = - 64 /5 y σ '' (22.5) = 64/5

Por tanto el desplazamiento máximo es la función original evaluado en t = 0

Con respecto a la segunda cuestión, el ritmo de cambio, la primera derivada es el ritmo o razón de cambio de cualquier función ya que es igual a esto : y2 - y1 / x2 - x1, por tanto como ya tenemos la primera derivada, solo la evalúas en t = 35.

25 2.6

A ver llamando a:

z = Hipotenusa ( Longitud de la escalera ) ----> La cual es una constante es decir nunca cambia

x = Cateto adyacente ( Distancia horizontal o distancia de la base de la escalera a la pared )

y = Cateto opuesto ( Distancia vertival o extremo superior )

Los datos que tenemos son:

z = 25 ft ----> Es una constante es decir nunca cambia

dx / dt = 2 ft / s --- > razon de cambio de la base de la escalera con respecto a la pared

En base al teorema de pitagoras tenemos que:

z² = x² + y²

Despejando " y " queda:

y² = z² - x²

y = ±√ [ z² - x² ]

Como solo se esta calculando una distancia ( la altura ) entonces solo se toma el valor positivo de la raíz:

y = √ [ z² - x² ]

Bueno ahora calculamos la altura "y" o extremo superior cuando "x" es igual a 7 ft, es decir cuando la base de la escalera dista 7 ft, entonces sustituyendo datos queda:

Se sabe que z = 25 ft entonces:

y = √ [ 25² - 7² ]

y = √ [ 625 - 49 ]

y = √ 576

y = 24 ft --- > altura del extremo superior cuando la base de la escalera dista 7 ft ---> ➀

Hacemos lo mismo para x = 24 ft, es decir, calculamos "y" cuando "x" es igual a 24 ft:

y = √ [ 25² - 24² ]

y = √ [ 625 - 576 ]

y = √ 49

y = 7 ft --- > altura del extremo superior cuando la base de la escalera dista 24 ft ---> ➁

Ahora lo que se pide en el primer inciso es calculara el ritmo al que esta bajando el extemo superior de la escalera, es decir dy / dt. De y² = z² - x² derivamos con respecto al tiempo y recordando que "z" es una constante queda:

2y ( dy / dt ) = -2x ( dx / dt )

Despejando dy / dt :

dy / dt = ( - x / y ) ( dx / dt )

➀ Ahora calculamos dy / dt cuando x = 7 ft para eso tenemos de datos:

dx / dt =2 ft / s

x = 7ft

y = 24 ft

Sustituyendo datos en dy / dt = ( - x / y ) ( dx / dt ) queda:

dy / dt = ( - 7 ft / 24 ft ) ( 2 ft / s )

dy / dt = ( - 7 / 24 ) ( 2 ft / s )

...