Polinomio

INTRODUCCION

En matemáticas, un polinomio es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la química, economía y las ciencias sociales. Vamos a ver algunas operaciones de estas.

DEFINICION DE POLINOMIOS

Primero definiremos monomio que es una expresión algebraica en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones aunque las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia. Un monomio se puede expresar como “axn”, donde “a” es un número llamado coeficiente, “x” la variable independiente (parte literal) y “n” el grado del monomio. Ejemplos de Monomios: 3a -5b 6x 3

Luego, podemos definir un Polinomio como una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios (llamados términos del polinomio), constituida por un número finito de variables y constantes, en las que se puede realizar operaciones tales como, suma, resta, producto y división. Ejemplos de Polinomios: a+b a+x-y x 3 +2x 2 +x+7. La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, puede ser una función P definida por la siguiente ecuación: P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x1 + a0, Con a0, a1, a2,…, an constantes y an ≠ 0, n , este se denomina “Polinomio de Grado n”. Donde el grado del polinomio es la mayor potencia a la cual está elevado el valor de “x”. Ejemplos: Q(x) = 3x 3 + 5x 2 + x; grado (P)= 3 Q(x) = x + x 2 ; grado (Q)= 2

También existen polinomios con más de una variable. Ejemplos: Q(x,y)= x 3 y + 3x 2 y 2 +4y 4 ; con variables “x” e “y”. Q(x,y,z)= 4x 2 z 3 + x 2 yz 2 4y 4 z; con variables “x”, “z” e “y”

OPERATORIA CON POLINOMIOS

Con los polinomios se pueden realizar las operaciones de Adición, Sustracción, Multiplicación y División.

1. Adición de polinomios. La adición de polinomios consiste en agrupar los términos que están elevados a la misma potencia y sumar o restar sus coeficientes según corresponda. Ejemplos: P(x)= 4x3 – 12x2 +6 Q(x)= -x4 + 5x3 +x2 + x – 4

P(x) + Q(x)= (4x3 – 12x2 +6) + (-x4 + 5x3 +x2 + x – 4) = 4x3 – 12x2 +6 - x4 + 5x3 +x2 + x – 4 =

-x4 + 4x3 + 5x3 – 12x2 + x2 + x + 6 – 4 = -x4 + (4+5)x3 + (-12+1)x2 + x + (6 – 4) = -x4 + 9x3 + (-11)x2 + x + 2 = -x4 + 9x3 - 11x2 + x + 2 P(x)= 5x2 – x + 2 Q(x)= 2x5 – 3x3 + x2 – 5

P(x) + Q(x)= (5x2 – x + 2) + (2x5 – 3x3 + x2 – 5) = 5x2 – x + 2 + 2x5 – 3x3 + x2 – 5 = 2x5 – 3x3 + 6x2 - x - 3

2. Resta de polinomios. Consiste en sumar los polinomios opuestos, es decir, si tenemos un polinomio P(x) y queremos restarle el polinomio Q(x), debemos sumar P(x) con el opuesto de Q(x) que sería –Q(x).

Ejemplos: P(x)= 4x3 – 12x2 +6 Q(x)= -x4 + 5x3 +x2 + x – 4

P(x) - Q(x)= (4x3 – 12x2 +6) - (-x4 + 5x3 +x2 + x – 4) = 4x3 – 12x2 +6 + x4 - 5x3 - x2 - x + 4 = x4 + 4x3 - 5x3 – 12x2 - x2 - x + 6 + 4 = -x4 + (4-5)x3 + (-12-1)x2 - x + (6 + 4) = -x4 + (-1)x3 + (-13)x2 - x + 10 = -x4 - 1x3 - 13x2 - x + 10

P(x)=

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