Principios De Conteo

PRINCIPIOS DE CONTEO

Si la cantidad de posibles resultados de un experimento es pequeña, resulta relativamente fácil contarlas. Sin embargo, si hay un número muy grande de resultados, tal como el número de caras y cruces en un experimento con 10 lanzamientos de una moneda, sería tedioso contar todas las posibilidades. Para facilitar la cuenta, se analizarán tres fórmulas para contar: la fórmula de la multiplicación, la fórmula de las permutaciones y la fórmula de las combinaciones.

FÓRMULA DE LA MULTIPLICACIÓN

Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra cosa, hay m × n formas de hacer ambas cosas.

Fórmula de la multiplicación:

Número total de disposiciones = (m) (n)

Esta fórmula se puede generalizar para más de dos eventos. Para tres eventos m, n y o:

Número total de disposiciones = (m) (n) (o)

Ejemplo:

Un distribuidor de automóviles quiere anunciar que por $29 999 usted puede comprar un convertible, un sedán de dos puertas o un modelo de cuatro puertas y elegir entre rines de rayos o planos. ¿Cuántas disposiciones de modelos y rines puede ofrecer el distribuidor?

Por supuesto, el distribuidor podría determinar el número total de disposiciones haciendo un diagrama y contando. Hay seis.

Mediante la fórmula de la multiplicación se verifica el resultado (en cuyo caso m es el número de modelos y n el tipo de rin). De acuerdo con la fórmula:

Número total de posibles disposiciones = (m) (n) = (3) (2) = 6

FÓRMULA DE LAS PERMUTACIONES

Se aplica para determinar el número posible de disposiciones cuando sólo hay un grupo de objetos.

PERMUTACIÓN.- Cualquier distribución de r objetos seleccionados de un solo grupo de n posibles objetos.

Observe que las distribuciones a b c y b a c son permutaciones diferentes. La fórmula para contar el número total de diferentes permutaciones es:

Fórmula de las permutaciones:

donde:

n representa el total de objetos;

r representa el total de objetos seleccionados.

Se emplea la notación denominada n factorial. Ésta se representa como n! y significa el producto de

n(n 1)(n – 2)(n – 3) … (1).

Por ejemplo, 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120.

La notación factorial se puede eliminar cuando los mismos números aparecen tanto en el numerador como en el denominador, como se muestra a continuación:

6!3!/4!=(6∙5∙4∙3∙2∙1(3∙2∙1))/(4∙3∙2∙1 )=180

Por definición, cero factorial, que se escribe 0!, es 1. Es decir que 0! = 1.

Ejemplos:

1.-Tres piezas electrónicas se van a montar en una unidad conectable a un aparato de televisión. Las piezas se pueden montar en cualquier orden. La pregunta es: ¿de cuántas formas pueden montarse tres partes?

Hay tres piezas electrónicas que van a montarse, así que n = 3. Como las tres se van a insertar en la unidad conectable, r = 3. De acuerdo con la fórmula, el resultado es:

Podemos verificar el número de permutaciones que obtuvimos con la fórmula de las permutaciones. Determinamos cuántos espacios hay que llenar y las posibilidades para cada espacio. En el problema de las tres piezas electrónicas, hay tres lugares en la unidad conectable para las tres piezas. Hay tres posibilidades para el primer lugar, dos para el segundo (una se ha agotado) y una para el tercero:

(3)(2)(1) = 6 permutaciones

Las seis formas en que las tres piezas electrónicas, representadas con las letras A,B, C, se pueden ordenar es:

ABC BAC CAB ACB BCA CBA

2.- Betts Machine Shop, Inc., cuenta con ocho tornos, aunque sólo hay tres espacios disponibles en el área de producción para las máquinas. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las ocho máquinas

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