Problemas de Gauss

Problemas de Gauss

1-. Entre dos hermanos suman 49 años. Calcular las edades de cada uno de ellos sabiendo que el mayor tiene el doble de años que el pequeño y que la suma de las edades del pequeño y el mediano son 5 años más que la edad del mayor.

Asignamos una letra a cada una de las incógnitas:

X= edad del hermano mayor

Y= edad del hermano mediano

Z= edad del hermano pequeño

x + y + z = 49

x            = 2 z

     y + z = x + 5

Se efectuaran las operaciones entre ecuaciones necesarias, para que en la segunda ecuación y en la tercera desaparezca la primera incógnita por la derecha (en este casi la X). Se hará sustituyendo estas ecuaciones por las combinaciones lineales de las ecuaciones del sistema.

x + y + z = 49                                 x + y + z = 49

          x = 2z                                 x       -  2z= 0[pic 1]

y + z = x + 5                                 - x + y + z = 5

Se sustituye la segunda ecuación por el resultado e hacer R2 – R3 y la tercera por el resultado de la operación R3 + R1, estas operaciones se denotaran de la siguiente manera:

[pic 2]

R2        R2 – R1       x + y + z =   49[pic 3]

R3 [pic 4]R3 + R1         -  y - 3z = - 49

                                   2y + 2z =   54

   R2 % -1     R1 – R2      R3 – 2R2[pic 5][pic 6][pic 7]

     R3 % -4   [pic 8][pic 9]

Si Z= 11 sustituimos la ecuación

y + 3 x 11 = 49               y = 49 – 33[pic 10]

                                      y = 16

Si Z= 11 e Y= 16 y sustituimos en la primera ecuación obtendremos el valor de X.

          X= 16 + 11 = 49             X= 49 – 16 – 11[pic 11][pic 12]

                                                 X= 22

El mayor tiene X = 22 años

El mediante tiene Y = 16 años

El pequeño tiene Z = 11 años

2-.Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

[pic 13]

Leche [pic 14] x

Jamón [pic 15] y

Aceite [pic 16] z

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Leche [pic 21] 1 €

Jamón [pic 22] 16 €

Aceite [pic 23] 3 €

2-. Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror.

Se sabe que:

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas.

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