TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

-TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

Es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar.

-Definición

El triple producto escalar (o también conocido como producto mixto) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar.

-Propiedades del triple producto escalar

Entre sus principales propiedades se encuentra el resultado

Donde θ es el ángulo que forman los dos vectores. Usando ese resultado es posible establecer el siguiente criterio para determinar si dos vectores son perpendiculares (ortogonales):

Dos vectores son perpendiculares si y sólo si .

Cuando los vectores son tridimensionales (esto es, son vectores de ) es posible definir otra multiplicación de vectores cuyo resultado sea también un vector; dicha operación se denomina producto cruz o producto vectorial, definido mediante el determinante

Donde son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes x,y,z.

El producto corresponde a un vector perpendicular a y cuya norma o módulo es

.

Donde nuevamente, θ es el ángulo entre los vectores.

Del resultado anterior se deducen dos resultados:

El valor de es igual al área del paralelogramo determinado por y .

Los vectores y son paralelos (colineales) si y sólo si .

Observemos la similitud entre este criterio y el de perpendicularidad para el producto punto.

-Aplicación del triple producto escalar

las aplicaciones se presentan con frecuencia productos de vectores que tienen tres o más factores. El más importante de estos productos es el triple producto escalar o triple producto mixto a. (b x c) de tres vectores. Con respecto a cualquier sistema de coordenadas cartesianas derecho, sean

a = a1i + a2j + a3k

b = b1i + b2j + b3k

c = c1i + c2j + c3k

a . (b x c) =

a . (b x c) =

Denotando el triple producto escalar a . (b x c) por (a b c), se tiene lo siguiente:

(a b c) = - (b a c)

(a b c) = (b c a) = (c a b)

a . (b x c) = (a x b) . c)

(ka b c) = k(a b c)

El valor absoluto del triple producto escalar (a b c) tiene una interpretación geométrica sencilla. Es igual al volumen del paralelepípedo P con a, b, c, como aristas adyacentes.

El valor del triple producto escalar es un número real independiente de la elección de las coordenadas derechas en el espacio.

Dependencia Lineal Tres vectores forman un conjunto linealmente dependiente si, y sólo si, su triple producto escalar es cero.

a x (b x c) = (a . c)b - (a . b)c

(a x b) . (c x d) = (a . c)(b . d) - (a . d)(b . c)

(a x b) x (c x d) = (a b d)c - (a b c)d

-Estrutura de espacio vectorial

Comenzaremos con el estudio de un ente matemático como son los espacios vectoriales. Su definición puede parecer un poco extraña al no entendido, sin embargo, una idea ha de quedar clara: es una estructura que nos asegura que al componer dos elementos pertenecientes al espacio (elementos a los que llamaremos vectores) de acuerdo a una cierta operación, el resultado sigue siendo un elemento del espacio. En otras palabras, la suma de vectores será un vector y no cualquier otra cosa, como podría ser un punto

-Espacio vectorial

un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

-Definición vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

Operación interna tal que:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

Operación externa tal que:

5) tenga la propiedad asociativa:

6) tenga elemento neutro 1:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

-Sub espacios vectorial

Un subespacio

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