TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

-TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

Es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar.

-Definición

El triple producto escalar (o también conocido como producto mixto) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar.

-Propiedades del triple producto escalar

Entre sus principales propiedades se encuentra el resultado

Donde θ es el ángulo que forman los dos vectores. Usando ese resultado es posible establecer el siguiente criterio para determinar si dos vectores son perpendiculares (ortogonales):

Dos vectores son perpendiculares si y sólo si .

Cuando los vectores son tridimensionales (esto es, son vectores de ) es posible definir otra multiplicación de vectores cuyo resultado sea también un vector; dicha operación se denomina producto cruz o producto vectorial, definido mediante el determinante

Donde son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes x,y,z.

El producto corresponde a un vector perpendicular a y cuya norma o módulo es

.

Donde nuevamente, θ es el ángulo entre los vectores.

Del resultado anterior se deducen dos resultados:

El valor de es igual al área del paralelogramo determinado por y .

Los vectores y son paralelos (colineales) si y sólo si .

Observemos la similitud entre este criterio y el de perpendicularidad para el producto punto.

-Aplicación del triple producto escalar

las aplicaciones se presentan con frecuencia productos de vectores que tienen tres o más factores. El más importante de estos productos es el triple producto escalar o triple producto mixto a. (b x c) de tres vectores. Con respecto a cualquier sistema de coordenadas cartesianas derecho, sean

a = a1i + a2j + a3k

b = b1i + b2j + b3k

c = c1i + c2j + c3k

a . (b x c) =

a . (b x c) =

Denotando el triple producto escalar a . (b x c) por (a b c), se tiene lo siguiente:

(a b c) = - (b a c)

(a b c) = (b c a) = (c a b)

a . (b x c) = (a x b) . c)

(ka b c) = k(a b c)

El valor absoluto del triple producto escalar (a b c) tiene una interpretación geométrica sencilla. Es igual al volumen del paralelepípedo P con a, b, c, como aristas adyacentes.

El valor del triple producto escalar es un número real independiente de la elección de las coordenadas derechas en el espacio.

Dependencia Lineal Tres vectores forman un conjunto linealmente dependiente si, y sólo si, su triple producto escalar es cero.

a x (b x c) = (a . c)b - (a . b)c

(a x b) . (c x d) = (a . c)(b . d) - (a . d)(b . c)

(a x b) x (c x d) = (a b d)c - (a b c)d

-Estrutura de espacio vectorial

Comenzaremos con el estudio de un ente matemático como son los espacios vectoriales. Su definición puede parecer un poco extraña al no entendido, sin embargo, una idea ha de quedar clara: es una estructura que nos asegura que al componer dos elementos pertenecientes al espacio (elementos a los que llamaremos vectores) de acuerdo a una cierta operación, el resultado sigue siendo un elemento del espacio. En otras palabras, la suma de vectores será un vector y no cualquier otra cosa, como podría ser un punto

-Espacio vectorial

un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

-Definición vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

Operación interna tal que:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

Operación externa tal que:

5) tenga la propiedad asociativa:

6) tenga elemento neutro 1:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

-Sub espacios vectorial

Un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V..

-Definicion vectorial

Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:

i)

ii)

-Concepto de linealidad

Se dice que un sistema es lineal, cuando cumple con los dos criterios siguientes:

1. Si una entrada X al sistema produce una salida X , entonces una entrada 2X producirá una salida 2X. En otras palabras, la magnitud de la salida del sistema es proporcional a la magnitud de la entrada del sistema.

2. Si una entrada X produce una salida X, y una entrada Y produce una salida Y, entonces una entrada X+Y producirá X+Y. En otras palabras, el sistema maneja dos entradas simultáneas de manera independiente y esas no interactúan en el sistema. Esos criterios implican el hecho que un sistema lineal no producirá frecuencias de salida, que no estén presentes en la entrada.

Observen que no hay nada en estos criterios que diga que la salida del sistema es la misma que la entrada, o que la salida se parece a la entrada. Por ejemplo la entrada podría ser una corriente eléctrica y la salida podría ser una temperatura. En el caso de estructuras mecánicas como máquinas consideraremos la entrada como una fuerza vibratoria y la salida como la vibración medida.

Espero que te aclare algo.

-Dependencia lineal

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

-Definición de dependencia lineal

Sea un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números , no todos iguales a cero, tal que:

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo . El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente si

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:

1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.

2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.

3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente también lo es todo conjunto que lo contenga. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande sigue siendo linealmente dependiente.

-Independencia lineal

En este caso se demuestra aplicando la definición de linealmente independientes, como dices tú en el enunciado,

Dos funciones f y g son linealmente dependientes si existe una constante que tal que f(x) = k•g(x)

Para demostrarlo partimos de que f', g' son linealmente independientes, por lo que no existe una constante K1 tal que f'=k1•g'.

Supondremos que f y g son linealmente dependientes y llegaremos a contradicción, por lo que no sera posible.

Si f y g son linealmente dependientes si existe una constante k tal que f(x) = k•g(x)

Derivando obtenemos que f'(x) = (k•g(x))'=k•g'(x), por lo que tendríamos una contante que haría que f' y g' fuesen dependientes, pero eso no es posible, ya que hemos partido de que eran independientes.

Por lo tanto f y g no pueden ser dependientes, por lo que son independientes

-Definición de independencia lineal

Un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo si existen

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