Producto escalar de dos vectores

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r • v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:

r = rxi + ryj + rzk

v = vxi + vyj + vzk

teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :

i • i = j • j = k • k = 1

i • j = i • k = j • k = 0

el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:

r • v = rx• vx + ry • vy+ rz • vz

Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :

r • v = |r| • |v| • cos (r, v)

Propiedades

Conmutativa : r • v = v • r

Distributiva : r • ( v + u ) = r • v + r • u

Asociativa : ( k • r ) • v = k • ( r • v ) = r • ( k • v ) siendo k escalar.

Además :

1.- r • r = 0 si, y sólo sí r = 0.

2.- Si r y v <> 0 y r • v = 0, esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º = 0).

3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él.

Ejemplo :

Proyección ortogonal (rv) de r sobre v

rv= |r| cos (r, v) -> r • v = |v| • rv

Ejemplo :

Calcular el producto escalar de los vectores r =5 i - 3 j + 2 k y v = -2 i + j + 3 k. Hallar el ángulo que forman.

Primero hallamos el producto escalar de los vectores :

r • v = 5 • (-2) + (-3) • 1 + 2 • 3 = -7

Ahora calculamos el angulo que forman;

sabemos que :

como ya calculamos r • v, nos queda que hallar el producto de sus módulos para poder realizar el cociente:

|r| • |v| = 22.17.

Entonces

y obtenemos que el ángulo entre los vectores es = 108.06º.

________________________________________

Aplicación: ángulo entre dos vectores

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es por definición un escalar.

Propiedades:

Podemos usar ahora el producto escalar para encontrar el ángulo de los vectores a y b:

Con lo que deducimos que:

• El cos dará siempre entre 0 y 1

• El producto escalar varía como máximo entre el y 0

• El cos nos dice si los vectores son paralelos o perpendiculares

Si cos de a y b = 0 vectores perpendiculares.

Si cos de a y b <> 0 vectores perpendiculares.

En este caso, , podemos sacar como conclusión que a = 0 ó b = 0, o bien que a y b son mutuamente perpendiculares.

Producto vectorial

El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b,

Se escribe . Por tanto:

donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b.

Propiedades:

Suma Gráfica de Vectores

El caso más sencillo corresponde a los vectores colineales. Entonces la suma es similar al simple caso de cantidades escalares. El módulo de la resultante es la suma de los módulos de los vectores que se suman y los tres tienen la misma dirección como la muestra la figura 1.2.

...