Prueba De Hipotesis

Contenido

Errores tipo I y II 1

Contraste de hipótesis unilateral y bilateral 2

Prueba de hipótesis para Z 3

Prueba de hipótesis para t, cuando n<30 y σ2 es desconocida 7

Prueba de hipótesis concernientes a varianzas 12

Hipótesis de diferencia de medias, con Varianza conocida 15

Hipótesis para la diferencia de proporciones 21

Prueba de Hipótesis

Errores tipo I y II

El error tipo I se define como el rechazo de la hipótesis nula Ho cuando ésta es verdadera. También es conocido como α ó nivel de significancia.

El error tipo II ó error β se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando ésta es falsa.

Por tanto, al probar cualquier hipótesis estadística, existen cuatro situaciones diferentes que determinan si la decisión final es correcta o errónea.

Decisión Ho es verdadera Ho es falsa

Aceptar Ho No hay error Error tipo II ó β

Rechazar Ho Error tipo I ó α No hay error

Ya se ha mostrado cómo puede estimarse un parámetro a partir de los datos contenidos en una muestra. Puede encontrarse ya sea un sólo número (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo de confianza). Sin embargo, muchos problemas de ingeniería, ciencia, y administración, requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún parámetro. Esta proposición recibe el nombre de hipótesis. Este es uno de los aspectos más útiles de la inferencia estadística, puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el mundo de la ingeniería, pueden formularse como problemas de prueba de hipótesis.

Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones.

Contraste de hipótesis unilateral y bilateral

Se pueden presentar tres tipos de ensayo de hipótesis que son:

Unilateral Derecho

Unilateral Izquierdo

Bilateral

Dependiendo de la evaluación que se quiera hacer se seleccionará el tipo de ensayo.

Unilateral Derecho. El investigador desea comprobar la hipótesis de un aumento en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptación y de rechazo.

Ensayo de hipótesis:

■(H_0:Parámetro ≤x@H_1:Parámetro>x)

Unilateral Izquierdo: El investigador desea comprobar la hipótesis de una disminución en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptación y de rechazo.

Ensayo de hipótesis:

■(H_0:Parámetro ≥x@H_1:Parámetro<x)

Bilateral: El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en el parámetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de rechazo.

Ensayo de hipótesis:

■(H_0:Parámetro=x@H_1:Parámetro≠x)

La hipótesis nula, representada por Ho, es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la "creencia a priori").

La hipótesis alternativa, representada por H1, es la afirmación contradictoria a Ho, y ésta es la hipótesis del investigador.

Prueba de hipótesis para Z

Suponga que queremos probar la hipótesis nula μ=μ_0 contra una de las alternativas μ≠μ_0, μ>μ_0, μ<μ_0 sobre la base de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con la varianza conocida σ^2.

z=(¯x-μ_0)/(σ⁄√n)

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.04.

Solución:

Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida.

Datos: μ=800 hrs σ=40 hrs ¯x=788 hrs n=30 α=0.04

Ensayo de hipótesis

■(H_0: μ=800@H_A: μ≠800)

Regla de Decisión:

Si –2.052 ZR 2.052 No se rechaza Ho

Si ZR < -2.052 ó si ZR > 2.052 Se rechaza Ho

Cálculos:

z_R=(¯x-μ)/(σ⁄√n)=(788-800)/(40⁄√30)=-1.643

Justificación y decisión:

Como –2.052 -1.643 2.052 por lo tanto, no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.04 que la duración media de los focos no ha cambiado.

Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Solución:

Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida.

Datos: μ=70 años σ=8.9 años ¯x=71.8 años n=100 α=0.05

Ensayo de hipótesis

■(H_0: μ=70@H_A: μ>70)

Regla de decisión:

Si zR 1.645 no se rechaza Ho.

Si zR> 1.645 se rechaza Ho.

Cálculos:

z_R=(¯x-μ)/(σ⁄√n)=(71.8-70)/(8.9⁄√100)=2.02

Justificación y decisión.

Como 2.02 >1.645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años.

Los salarios diarios en una industria particular presentan una distribución normal con una media de $13.20 y una desviación estándar de $2.50. Si en esta industria una compañía que emplea a 40 trabajadores les paga en promedio $12.20, ¿puede acusarse a esta compañía de pagar salarios inferiores?, utilice un

El departamento de seguridad de una fábrica quiere saber si el verdadero tiempo promedio que el guardián nocturno tarda en hacer su ronda es 30 min. Si, en una muestra aleatoria de 32 rondas, el guardián nocturno promedió 30.8 minutos con una desviación estándar de 1.5 minutos, determine si ésta es evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula a favor de la hipótesis alternativa . Use un nivel de significancia del 0.01.

Suponga que 100 neumáticos que cierto fabricante produce duraron en promedio 21,819 millas con una desviación estándar de 1,295 millas. Pruebe la hipótesis nula contra la hipótesis alternativa en el nivel 0.05 de significancia.

■(H_0: μ=22000@H_A: μ<22000)

Rechace H_0 si z≤-1.645 donde

z=(¯x-μ)/(σ⁄√n)

Al sustituir ¯x=21819 μ=22000 σ=1295 n=100

z=(21819-22000)/(1295⁄√100)=-1.40

Puesto que z =-1.40 es mayor que -1.645, se acepta H_0

El voltaje de salida de cierto circuito eléctrico debe ser igual a 130, según se especifica. Una muestra de 40 lecturas independientes para este circuito dio una media muestral de 128.6 y una desviación de 2.1. Pruebe la hipótesis de que el voltaje de salida promedio es 130 frente a una hipótesis alternativa de que es menor que 130, utilice un nivel de significancia del 5%.

De acuerdo a las normas establecidas para una prueba de comprensión de lectura, estudiantes del último año de primaria deben promediar 84.3 con una desviación estándar de 8.6. Si 45 estudiantes de último año de primaria seleccionados aleatoriamente de cierto distrito escolar promediaron 87.8, pruebe la hipótesis nula contra la alternativa en el nivel 0.01 de significancia.

Prueba de hipótesis para t, cuando n<30 y σ^2 es desconocida

t=(¯x-μ)/(s⁄√n)

En 12 corridas de prueba sobre una ruta señalada, una lancha motora recientemente diseñada promedió 33.6 segundos con una desviación estándar de 2.3 segundos. Suponiendo que es razonable tratar los datos como una muestra aleatoria de una población normal, pruebe la hipótesis nula contra la alternativa en el nivel 0.05 de significancia.

Cinco mediciones del contenido de alquitrán de cierta clase de cigarrillos dieron . Suponga que los datos son una muestra aleatoria de una población normal, demuestre que para un 0.05 de significancia se debe rechazar la hipótesis nula en favor de la alternativa

El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una desviación estándar de11.9 kilowatt-hora, ¿esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora es normal.

Solución:

Datos: μ=46 kw⁄hrs σ=11.9 ¯x=42 n=12 α=0.05

Ensayo de hipótesis

■(H_0: μ=46@H_A: μ<46)

Regla de decisión:

Si tR -1.796 No se rechaza Ho

Si tR < -1.796 Se rechaza Ho

Cálculos:

t_R=(¯x-μ)/(s⁄√n)=(42-46)/(11.9⁄√12)=-1.16

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