Formulas-de-integracion

Separata de Cálculo I

LIMITES

Limites finitos en puntos finitos

Este es el caso mas habitual: a cada valor que le damos a la variable x, obtenemos un valor para la función y.

Consideremos la función y = x3 y el punto x = 2.

Hagamos una tabla con los valores de y que obtenemos al dar valores a x desde x = 1,9 hasta x = 2 para valores cada vez mas proximos a x = 2

x y

1,9 6,86

1,99 7,880599

1,999 7,988005999

1,9999 7,99880006

1,99999 7,9998800006

Hagamos una tabla con los valores de y que obtenemos al dar valores a x desde x = 2,1 hasta x = 2 con valores cada vez mas próximos a x = 2

x y

2,1 9,261

2,01 8,120601

2,001 8,012006001

2,0001 8,00120006

2,00001 8,0001200006

Como vemos tanto si nos acercamos a x = 2 por la derecha como por la izquierda el valor de y se acerca a 8 (un numero determinado). Este es el comportamiento habitual de las funciones, pero, en algunos casos no ocurre esto.

Definición

Se dice que la funcion y = f(x) tiene como limite el numero L, cuando x tiende a x0 si, para cualquier e , mayor que cero, existe un numero positivo d, tal que, para todos los x distintos de x0 que cumplen la condicion ½ x - x0½ < d, se cumple que ½ f(x) - L½ < e.

Una función y = f(x) tiene limite en el punto x0, si y solo si, los limites de la función existen y son iguales cuando x tiende a x0 por la derecha y por la izquierda.

A) INDETERMINACIÓN

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo.-

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.

Ejemplo.-

B) INDETERMINACIÓN

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo.-

C) INDETERMINACIÓN

Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador.

Ejemplo.-

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.

Ejemplo.-

LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

En algunos casos podemos utilizar:

Limites infinitos en puntos finitos

La funcion y = 1/x2 cuando x = 0, tiene un comportamiento diferente, pues el valor de y tiende a infinito a medida que x se acerca a cero, tanto por la derecha como por la izquierda.

x y

0,1 100

0,01 10000

0,001 1000000

0,0001 100000000

0,00001 10000000000

En este caso, cuanto mas nos acercamos a 0 mas crece el valor de y. Se dice que y tiende a infinito.

Definición

La función y = f(x) tiene un limite +infinito o -infinito, cuando x tiende a x0 si para cualquier M positivo, existe un d , mayor que cero, tal que, para todos los x distintos de x0 que cumplen la condicion ½ x - x0½ < d, se cumple que ½f(x)½ >M.

Limites en el infinito

Otro caso a estudiar es cuando x se hace muy grande (tiende a infinito). Supongamos la funcion y = (1 + 1/x). Cuando x se hace muy grande el termino 1/x se hace muy pequeño, por lo tanto y tiende a 1 cuando x tiende a infinito.

x y

100 1,01

1000 1,001

10000 1,0001

100000 1,000001

1000000 1,0000001

Definición

La función y = f(x) tiene un limite L cuando x tiende a +infinito o x tiende a -infinito, si para cualquier e, mayor que cero, es posible encontrar un N, mayor que cero, tal que, para todos los valores de x que cumplen la condicion ½x½ > N, se cumple que ½f(x) - L½ < e.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Criterios de continuidad de una función en un número

Se dice que una función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

DERIVADAS

Definición de derivada.

La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:

A la derivada de una función en un punto se le llama también tasa de variación instantánea.

Interpretación geométrica de la derivada.

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