Rama de matemáticas llamada topología.

Introducción

En la vida práctica y en la naturaleza encontramos constantemente curvas de muchas formas: La trayectoria de un planeta en el espacio, de una nave en el mar, de un proyectil en el aire, de una rueda en el pavimento, la forma de una cuerda colgante, el perfil de un dibujo, la forma de un árbol de levas que gobierna las válvulas del motor, la forma de un muelle espiral, etc. Ejemplos como estos son interminables.

Los métodos para la elaboración de productos, las propiedades ópticas de diversos objetos, las líneas de corriente de los cuerpos, la rigidez o deformabilidad de láminas delgadas, etc., dependen en gran medida la forma geométrica de los objetos. En una primera aproximación, los objetos reales pueden ser representados por curvas matemáticas.

Las definiciones exactas de estas curvas son sencillas y pertenecen a una rama de matemáticas llamada topología.

Desarrollo

Usualmente cualquier vector adquiere la forma general F=A + B + C . Cuando los valores de A, B y C dependen de un solo factor, sea t, entonces la ecuación puede ser escrita como F(t) = x(t) + y(t) + z(t)

Un vector de esta forma es llamado función vectorial de una variable real, porque el valor del vector depende de una sola variable, aquí esta variable es t. El valor de la función variará con cada cambio en el valor de t.

Los valores de x(t), y(t) y z(t) se llaman componentes o funciones componentes de F(t). Algunas propiedades de la función principal del vector dependerán de las funciones componentes.

I à Si todas las funciones componentes de una función vectorial F(t)son continuas, sólo entonces la función F(t) es continua para encontrar la derivada de una función dada, necesitamos encontrar la derivada de los componentes individuales.

        Esto es, para F(t) = x(t)  + y(t)  + z(t)

                F’(t) = x’(t)  + y’(t)  + z’(t)

Ejemplo: F (t) = [pic 1]

                Entonces, F’ (t) = [pic 2]

A medida que los valores de ‘t’ cambien, los componentes formarán una curva en un plano 3D, que será el lugar de los puntos x(t), y(t) e z(t). Esto se ilustra con la siguiente figura-

En la figura anterior, a medida que cambia el valor de t en F(t), podemos obtener diferentes valores para los vectores, los cuales son representados como (x(t), y(t), z(t)).

Una función valorada vectorial de dos dimensiones, esto es, una función vectorial de una variable, se denota como f: R ◊ R2. Por ejemplo, para algún número real, sea k, una función vectorial de una variable en dos dimensiones puede ser escrita como f(k) = (2k,-k). Aquí, en lugar del 2 puede utilizarse otra constante.

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