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El polinomio es una clase de expresión algebraica entera, en la cual existen una o más variables o indeterminadas, que no actúan como divisor, ni están afectadas por operaciones de radicación. Existen distintos tipos de polinomios: monomio (un término), binomio (dos términos), trinomio (tres términos), y cuatrinomio (cuatro términos).

Un polinomio es una combinación de números (llamados coeficientes) y letras (representan las variables o indeterminadas), unidas por medio de operaciones matemáticas, como suma, resta, multiplicación y división. También las operaciones de potenciación y radicación tienen lugar en los polinomios, pero éstas últimas nunca están afectando a la variable, sino a los coeficientes.

La suma y la resta de polinomios sólo puede realizarse entre términos de igual variable y exponente, es decir, términos semejantes.

En los términos cuyo coeficiente es distinto de cero (es decir, no es nulo), el grado del polinomio es el mayor exponente que posee la indeterminada o variable. El coeficiente principal es el número que afecta a la variable de mayor exponente.

Se dice que un polinomio está ordenado si sus términos (separados por suma o resta) se organizan, en relación a los exponentes de las indeterminadas, de manera creciente o decreciente. Se considera que un polinomio está completo si posee todas las potencias de una variable, decrecientes del mayor exponente o grado; si el polinomio no está completo, se puede completarlo, sumándole los términos con los exponentes necesarios (incluyendo el término que no tiene variable, “término de grado cero”, si es que no lo tiene), y para no alterar el valor del polinomio, el coeficiente de los términos agregados deberá ser cero.

Los polinomios están muy ligados al álgebra. Resolver ecuaciones algebraicas, por ejemplo, es equivalente a hallar los ceros o raíces de un polinomio. Es por ello que aprender a factorizar y completar cuadrados, te permitiría no sólo hallar los valores de x que anulan a un polinomio, sino también resolver ecuaciones algebraicas.

Cuando enseñan polinomios, normalmente enseñan que para sumar o restar dos términos éstos deben ser semejantes; que la multiplicación de polinomios se hace a través de la propiedad distributiva; que algunas multiplicaciones (o productos) son notables; que es posible convertir algunos polinomios en productos de dos o más factores (factorización); que la división de polinomios permite simplificar expresiones y que todo esto permite manipular fracciones algebraicas. El objetivo es claro: enseñar a manipular expresiones algebraicas, conocimiento que es fundamental para cualquier curso de álgebra y cálculo. Quizá es ésta la utilidad más importante de los polinomios.

Otra utilidad, aunque es más de las funciones en general, es que los polinomios permiten expresar una serie de operaciones de forma simbólica. Por ejemplo, si los dulces rojos cuestan 10 Bolívares cada uno y los dulces azules cuestan 5 Bolívares cada uno, y compro una cantidad "x" de dulces rojos y una cantidad "y" de dulces azules, entonces debo pagar 10x + 5y (Traducción: multiplico 10 por la cantidad de dulces rojos y le sumo eso al resultado de multiplicar 5 por la cantidad de dulces azules) Se escribiría entonces:

P(x,y) = 10x +5y

Si quiero saber cuánto debo pagar si compro 3 torontos y 4 caramelos, entonces evaluamos el polinomio (que no es más que sustituir los valores de "x" y "y"):

P(3,4) = 10 (3) + 5 (4) = 30 + 20 = 50

Es decir, tendría que pagar 50 Bolívares en total. Y por supuesto que todo esto se puede hacer sin polinomios, pero manejar de forma simbólica una serie de operaciones (ya sean funciones polinómicas o no), permite a las industrias, por ejemplo, hacer análisis sobre el costo de sus productos, el funcionamiento de sus equipos, la productividad de sus empleados, etc.

Existe otra utilidad bastante relevante, aunque sólo la llegan a conocer aquellos que estudian cálculo en la universidad. El Teorema de Taylor permite aproximar ciertas funciones mediante polinomios. Esto transformaría una función (trigonométrica, por ejemplo) en una función polinómica, que es muy fácil de evaluar. En la imagen se ve cómo la función trigonométrica seno es aproximada con funciones polinómicas.

Claro, esta "facilidad" para evaluar es relativa, ya que con una calculadora o una computadora, es posible obtener los valores fácilmente y sin problemas. Sin embargo, surge una pregunta: ¿ cómo las calculadoras hacen sus cálculos? o mejor aún ¿cómo hacía la gente para calcular cosas antes de que inventaran las calculadoras?

Quizá los polinomios no sean útiles en la vida diaria como lo es la suma o la multiplicación, sin embargo, su estudio ha permitido (y sigue permitiendo) el desarrollo de las matemáticas y con ello el desarrollo de la tecnología, de la industria y de todo lo que conocemos a nuestro alrededor...

Tipos de polinomios

1) Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x^2 + 0x + 0

2) Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x^2 + 3xy

3) Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x^3 + 3x^2 − 3

4) Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x^3 + 3x^2 + 5x − 3

5) Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x^3 + 5x − 3

6) Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x^3 + 5x − 3

7) Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

P(x) = 2x^3 + 5x – 3

Q(x) = 5x 3 − 2x − 7

8) Polinomios semejantes

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x^3 + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 • 13 + 5 • 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según su grado los polinomios pueden ser de:

TIPO EJEMPLO

PRIMER GRADO P(x) = 3^x + 2

SEGUNDO GRADO P(x) = 2x^2+ 3x + 2

TERCER GRADO P(x) = x^3− 2x^2+ 3x + 2

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x^3+ 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 • 13+ 5 • 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

1) Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2) Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x^3 + 5x – 3

Q(x) = 5x - 3 + 2x^3

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x^3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1) Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x^3− 3x^2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x^3 + 5x − 3) + (2x^3 − 3x^2+ 4x)

2) Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x^3 + 2x^3 − 3x^2 + 5x + 4x − 3

3) Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 2x^3 + 2x^3 − 3 x^2 + 5x + 4x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x^4 + 4x^2 + 7x + 2 Q(x) = 6x^3 + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x^4 + 6x^3 + 4x^2 + 15x + 5

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x^3 + 5x − 3) − (2x^3 − 3x^2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x^3 + 5x − 3 − 2x^3 + 3x^2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x^3 − 2x^3 + 3x^2 + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x^2 + x – 3

Multiplicación de Polinomios

1. Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.

Ejemplo:

3 • (2x^3 − 3x^2 + 4x − 2) = 6x^3 − 9x^2 + 12x − 6

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo:

3x^2 • (2x^3 − 3x^2 + 4x − 2) =

= 6x^5− 9x^4 + 12x^3 − 6x^2

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x^2 − 3 Q(x) = 2x^3 − 3x^2 + 4x

OPCIÓN 1

1) Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) • Q(x) = (2x^2 − 3) • (2x^3 − 3x^2 + 4x) =

= 4x^5 − 6x^4 + 8x^3 − 6x^3+ 9x^2 − 12x =

2) Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x^5 − 6x^4 + 2x^3 + 9x^2 − 12x

3) Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado

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