Regresion Lineal Transformaciones logaritmicas

MODELOS LOGARITMICOS EN ECONOMETRIA
INTERPRETACIÓN

Repaso de Propiedades de los Logaritmos

Definición:      LogA X = Y   ⬄   X = AY    (Matemático Escocés John Napier 1550 1617)

 La notación Log X (sin subíndice) denota el Logaritmo de base 10

O sea que por convencion Log10 X= Y se escribe Log X = Y   ⬄    X=10Y

La notación Ln X denota “logaritmo natural” o Neperiano de base e (Nro de Euler)

Log (X.Y) = Log X + Ln Y

Log (X/Y) = Log X – Log Y

Log AB = B . Log A

Log A1/B = Log A / B

LogA B = Log B / Log A

LogA A = 1

LogA 1 = 0     Cuanto da el LogA 1=X ?  

Aplicando la Definición 1=AX    ….. Resulta que no importa cuanto vale A, X tiene que ser 0. Cualquier número elevado a cero da 1!!!

Repaso Interpretacion de B

El Modelo es Y=B0 + B1 X

Quiero calcular que pasa con Y cuando se produce un pequeño cambio dX en X.

Calculo   Y1=B0 + B1.X    y calculo   Y2=B0+B1.(X+dX)

La variación que se produjo en Y es Y2-Y1= B0+B1.(x-dX) – B0 – B1.X

dY = Y2 – Y1 = B1.x – B1.dX - B1.X = B1 dX  ⬄ dY=B1.dx    B1 = dY/dX

B1 es el cambio que se produce en Y cuando produzo un cambio en X!

Ejemplo:

Sobre una muestra de mas de 500 personas intentamos vincular Salario (Y) dolas por hora con Años Educacion (X). Corremos un modelo de regresión y obtenemos:

Y = 0,9 + 0,54.X

Como interpretamos B1=0,54?

Cada año de Educación incrementa el salario en $0,54

Interpretacion de un Incremento en un Logaritmo

Si tengo una variable z  y Z1 es un primer valor de Z y Z2 el de la variable incrementada en dZ (o sea Z2=Z1+dZ)

La definición matemática del incremento es Z2 - Z1 = Z1+ dZ-Z1= dZ

Que pasa si a Z1 y Z2 le aplico logaritmos?

LnZ2 - LnZ1 = Ln(Z1+dZ) – LnZ1

Por la propiedad de los logaritmos Log (X/Y) = Log X – Log Y

Entonces LnZ2-LnZ1 = Ln[ (Z1+dZ)/Z1 ] = Ln[ 1+dZ/Z1 ]

Se puede demostrar que para pequeños dZ se cumple que   Ln[ 1+dZ/Z1] ∼ dZ/Z1

(intuitivamente recordar que Ln1=0)

dZ/Z1 es la expresión decimal del cambio porcentual de Z!

Ejemplo:

Si Z1=1 y dZ=0,1 entonces Z2=1,10 cuanto cambió Z?

10%        dZ/Z1=10/100 = 0,1

Ln(1,10)-Ln(1) = Ln(1,10) por propiedades de Logaritmos y Ln(1,10)∼0,1

Tipos de Modelos Logarítmicos en Econometría

En econometría se suelen utilizar modelos logarítmicos cuando se infiere que la relación entre las variables puede ser No Lineal. CAMBIA LA FORMA DE INTERPRETAR B1

Modelo Log Lineal

En el ejemplo de las 500 personas en que intentamos vincular Salario (Y) con Educacion (X)… esta razonable pensar que la relación es lineal?

Supongamos que pretendemos reflejar que la pendiente es

mayor al principio y disminuye para valores grandes de Educación.

Hacemos una regresión empleando Ln del Salario (LnY) en función de Educación (X) es decir un modelo Log-Lineal:  LnY = B0 + B1.X

Obtenemos: LnY = 0,584 + 0,083.X

Como se interpreta B1=-,083 en este caso?

Como un Cambio Porcentual en Y por cada cambio en una unidad de X

Cada año de educación incrementa el salario en 0,083 o sea un 8,3%

SI importa la unidad de medida de X y NO importa la unidad de medida de Y porque se interpreta en porcentaje.

Modelo Log Log

Tratamos de vincular el Salario de los Gerentes (Y) en función de las ventas de la empresa (X).

Utilizamos un modelo Log – Log es decir LnY = B0 + B1.LnX

Hacemos la regresión sobre una muestra de la que disponemos y obtenemos:

LnY = 4,822 + 0,25 LnX

Como interpreto B1=0,25?

Un cambio de 1% en las ventas generaría un cambio de 0,25% en el Salario de los Gerentes.

NO importan las unidades de medida de X e Y. Se interpreta en Porcentajes.

Modelo Lineal Log (menos usado)

Tratamos de vincular el Salario de los Gerentes (Y en miles de $) en función de las ventas de la empresa (X).

Utilizamos un modelo Lineal – Log es decir Y = B0 + B1.LnX

Hacemos la regresión sobre una muestra de la que disponemos y obtenemos:

Y = 10328 + 3523 LnX

Como interpreto B1=3523?

Un cambio de 1% en las ventas generaría un cambio de $3523 en el Salario de los Gerentes

Para interpretarlo NO importa la unidad de medida de X (se interpreta en porcentaje) y SI importa la unidad de medida Y.

RESUMEN INTERPRETACION DE B1

RESUMEN

Vamos a explicarlo de forma más sencilla, para que se entienda mejor.

• El modelo Nivel-Nivel representa las variables en su forma original (regresión en forma lineal). Es decir, un cambio de una unidad en X, afecta en β1 unidades a Y.

• El modelo Nivel-Log se interpreta como un incremento del 1% de cambio en X es asociado a un cambio en Y de 0,01· β1.

• El modelo Log-Nivel es el menor frecuentemente utilizado y se conoce como la semielasticidad de Y respecto a X. Se interpreta como un incremento de 1 unidad en X es asociado a un cambio en Y de (100·β1 )%.

• El modelo Log-Log es atribuye a β1 la elasticidad de Y, respecto a X. Se interpreta como un incremento del 1% en X es asociado a un cambio en Y de B1%.

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