Relaciones y comparaciones entre sucesos

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD                                                                            Prof. Fernando Montilla

Relaciones y comparaciones entre sucesos

        Revisaremos en primer término las comparaciones de sucesos mediante las relaciones de inclusión e igualdad.

        Definición (relación de inclusión): Sean A y B dos sucesos cualesquiera de un espacio muestral S. En general, se dice que A está incluido en B (o bien, que A es un subconjunto de B), y se simboliza por A ⊂ B, si cada elemento de A es también un elemento de B.

        En símbolos:

A ⊂ B ⇔ a ∈ A ⇒ a ∈ B^[1]

        Si el suceso A no esta incluido en B, existe al menos un elemento de A que no pertenece a B. Esto se indica por A ⊄ B, y se debe a que existe a ∈ A y a ∉ B.

Ejemplo 1. El suceso E está incluido en el suceso A, pues el resultado experimental (1,1), para el cual se verifica el suceso E: “la suma de los puntos es a lo más igual a 2”, está contenido en el suceso A: “el mayor puntaje obtenido en los dos dados es máximo 3” constituido  por los elementos (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2) y (3,3). En consecuencia, E ⊂ A.

        Definición (relación de igualdad): Sean A y B dos sucesos cualesquiera de un espacio muestral S. Se dice que dos sucesos A y B son iguales, y se escribe A = B, si y sólo si cada elemento de un suceso es también un elemento del otro suceso. Simbólicamente:

A = B es equivalente a  [pic 1]

        Considerando cada una de estas relaciones y recurriendo a la definición de inclusión se tiene:

[pic 2]

        Resumiendo  las  expresiones  (1) y (2) se concluye que A = B implica que A ⊂ B y que B ⊂ A, y recíprocamente A ⊂ B y B ⊂ A implican que A = B^[2]. Por lo tanto, dos sucesos son iguales si cada uno está incluido en el otro (es decir, si cada uno es subconjunto del otro).

Ejemplo 2. A partir del ejemplo que venimos considerando, definamos el suceso G como:

G = “se obtiene el número 1 en ambos dados”

La imagen matemática correspondiente a este suceso es:

G = {(1,1)}

con un tamaño de n(G) = 1 (suceso simple).

Si  comparamos el suceso G con el suceso E, se verifica que E ⊂ G y G ⊂ E, lo que implica que E y G son sucesos iguales, es decir:

E = G

Del comentario anterior podemos obtener otras conclusiones interesantes:

        Definición (relación de inclusión impropia): Sean A y B dos sucesos cualesquiera de un espacio muestral S. Si A está incluido en B (es decir, A es un subconjunto de B), y no existen en B elementos que no pertenezcan a A, se dice que la relación de inclusión entre los sucesos A y B es impropia, es decir A está contenido en B y además es igual a B.

El ejemplo 2 que acabamos de considerar corresponde a un caso de este tipo. Otro ejemplo importante es al considerar al espacio muestral S como el suceso S (como un subconjunto de S).

Definición (relación de inclusión propia): Sean A y B dos sucesos cualesquiera de un espacio muestral S. Si A está incluido en B (es decir, A es un subconjunto de B), y existen en B elementos que no pertenezcan a A, se dice que la relación de inclusión entre los sucesos A y B es propia, y se la simboliza mediante A ⊆ B.

El ejemplo 1 considerado en esta sección, corresponde a un caso de este tipo.

Para completar las alternativas de comparación de sucesos, nos falta considerar otras dos situaciones posibles: la primera, aquella en la cual los sucesos A y B no tienen elementos comunes; y la segunda, cuando cada uno de los sucesos, contiene al menos un elemento no común con el otro suceso.

Definición (sucesos mutuamente excluyentes): Sean A y B dos sucesos cualesquiera de un espacio muestral S. Se dice que A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes, cuando carecen de elementos comunes, es decir, si A ∩ B = ∅.

En otras palabras, si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes la ocurrencia de uno de ellos imposibilita la ocurrencia simultánea del otro.

Ejemplo 3. Del mismo ejemplo introducido en la sección anterior, puede considerarse que los sucesos A y B son mutuamente excluyentes, en virtud de que es imposible que “el mayor puntaje obtenido, en cualquiera de los dados, es máximo 3” y que simultáneamente “la suma de los puntos obtenidos sea igual a 8”; es decir, A∩B = ∅.

Definición (sucesos solapados: Sean A y B dos sucesos cualesquiera de un espacio muestral S. Se dice que A y B son solapados si satisfacen las siguientes relaciones A ≠ B, A ⊄ B,  B ⊄ A, y no son disjuntos. En otras palabras, A y B  son solapados cuando son dos sucesos distintos, no disjuntos, en que ninguno es subconjunto del otro.

        Se presenta este caso cuando cada uno de los sucesos contiene algunos elementos que no pertenecen al otro, además de los elementos comunes a ambos.

Ejemplo 4. A partir del ejemplo que venimos considerando, definamos un nuevo suceso:

H = “en ambos dados se obtiene el mismo puntaje”

La imagen matemática correspondiente a este suceso es:

H = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

con un tamaño de n(H) = 6 elementos.

Si comparamos el suceso A con el suceso H, se verifican las relaciones: A ≠ H, A ⊄ H, H ⊄ A, y no son disjuntos; en otras palabras, A y H son dos sucesos distintos, no disjuntos, en que ninguno es subconjunto del otro. Por consiguiente, podemos afirmar que los sucesos A y H  son solapados.

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