Representación y modelización de fracciones

En matemáticas, una fracción, número fraccionario, (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado)1 es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad ; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales, denotado \mathbb Q.

De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).

\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1

tres cuartos más un cuarto

Índice

1 Representación y modelización de fracciones

1.1 Numerador y denominador

1.2 Representación gráfica y analítica

2 Clasificación de fracciones

3 Cálculo aritmético

4 Número mixto

5 Fracción irreducible

6 Fracción equivalente

7 Fracción como porcentaje

8 Historia

9 Fracción decimal

10 Fracción continua

11 Fracción unitaria

12 Fracción egipcia

13 Véase también

14 Notas y referencias

15 Bibliografía

16 Enlaces externos

Representación y modelización de fracciones

Numerador y denominador

Las fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisoria entre ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción común a/b el denominador b representa la cantidad de partes iguales en que se ha fraccionado la unidad, y el numerador a es el entero.

Representación gráfica y analítica

Fraction3 4.svg

Cake quarters.svg

Como se ha quitado 1/4 del pastel, todavía le quedan 3/4 .

Suelen utilizarse figuras geometricas (los cuales representan la unidad) divididos en tantas partes como indique el denominador, y se colorean (u omiten) tantas de estas partes como indique el numerador.

Notación y convenciones:

en una fracción común, el denominador se lee como número partitivo (ejemplos: 1/4 se lee «un cuarto», 3/5 se lee «tres quintos»);

una fracción negativa se escribe con el signo menos delante de la fracción (ejemplos: -1/4 o -\dfrac{3}{4} , pero no 3/-4);

una fracción genérica a/b representa el producto de a por el recíproco (multiplicativo) de b, de tal modo que a/b\ = a \cdot 1/b\ ; si tanto a como b son números negativos (-a/-b), el producto es positivo, por lo que se escribe: a/b;

toda expresión matemática escrita en esta forma recibe el nombre de «fracción».

La expresión genérica a/b representa una división algebraica, por lo que el divisor debe ser distinto de cero (b \neq 0); el cociente de esta división admite un desarrollo decimal (un número decimal, en el sistema de numeración decimal tradicional) que puede ser finito o infinito periódico (ver Número periódico).

Un número irracional no admite una escritura en forma de número fraccionario, su expansión decimal será infinita no-periódica.

Una fracción común representa un número racional, por lo que las fracciones comunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales.

Ejemplos

\dfrac{3}{4} ; 3/4 ; 3/4 ; (¾) ; fracción tres cuartos: numerador 3 y denominador 4, representa al número decimal 0.75, en porcentaje: 75%;

\dfrac{x^2}{(x+3)(x-3)} ; fracción: numerador x² y denominador (x+3)(x-3), el valor decimal dependerá del valor de la variable x.

Clasificación de fracciones

1/2 un medio

1/3 un tercio

1/4 un cuarto

1/5 un quinto

1/6 un sexto

1/7 un séptimo

1/8 un octavo

1/9 un noveno

1/10 un décimo

1/11 un onceavo

1/12 un doceavo

Según la relación entre el numerador y el denominador:

Fracción mixta: suma abreviada de un entero y una fracción propia: 3\ ¼ , 2\ ½ , \dots\

Fracción propia: fracción en que el denominador es mayor que el numerador: 1/3\; , \; 3/8\; , \; 3/4\; , \dots\

Fracción impropia: fracción en donde el numerador es mayor que el denominador: 13/6\; , \; 18/8 \; , \; 5/2 \; , \dots\

Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada: 2/4 \; , \; 6/18 \; , \; 155/150\; , \dots \

Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y por tanto no puede ser simplificada: 1/2 \; , \; 3/5 \; , \; 13/15\; , \dots \

Fracción inversa: fracción obtenida a partir de otra dada, en la que se han invertido el numerador y el denominador: 2/3 \;\ y 3/2\;\ ; 1/2 \;\ y 2\ ; \dots\

Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier número perteneciente al conjunto de los enteros: 3/3=1\; ; \ 12/3=4\ ; \dots\

Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.

Según la escritura del denominador:

Fracción equivalente: la que tiene el mismo valor que otra dada: 1/2 = 2/4 = 4/8 = 50/100, \dots\

Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: 1/4 \ y 3/4 \ ; 1/27 \ y 3/27 \ ; \dots\

Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores: 1/4 \ y 3/5 \ ; -1/5 \ y 5/1 \ ; \dots\

Fracción decimal: el denominador es una potencia de diez: 1/10, 2/100... En general: \frac{a}{10^n}, con a un entero positivo y n un natural.

Fracción continua: es una expresión del tipo: x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3+\dots}}}.

Según la escritura del numerador:

Fracción unitaria: es una fracción común de numerador 1.

Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de fracciones unitarias.

Fracción gradual2 : \frac{1+\frac{1+\frac{1+\cdots}{a_3}}{a_2}}{a_1}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1\cdot a_2}+\frac{1}{a_1\cdot a_2\cdot a_3}+\ \cdots

Otras clasificaciones:

Fracción como porcentaje: Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100, utilizando el signo porcentaje %.

Fracción como razón: véase proporcionalidad y regla de tres para la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de una comparación.

Fracción parcial: véase método de las fracciones parciales para reducir un cociente de polinomios.

Nota: Una fracción irracional es una término autocontradictorio (dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares). Un número irracional es, por definición, no racional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.

Cálculo aritmético

Ejemplo de fracción aparente.

Algoritmo para la suma o resta:

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}=\frac{ad}{bd} \pm \frac{bc}{bd}=\frac{ad \pm bc}{bd}

Algoritmo para la multiplicación y la división:

Fórmula para el producto: \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Fórmula para el cociente: \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}

Número mixto

Un número mixto es la representación de una fracción impropia, en forma de número entero y fracción propia; es una manera práctica de escribir unidades de medida (peso, tiempo, capacidad), recetas de cocina, etc.3

Toda fracción impropia \frac{p}{q} puede escribirse como número mixto: A\ a/b, en donde A a/b denota A+\frac{a}{b} (donde A\in \mathbb{Z},~A\geq 0, es la parte entera).

Ejemplos:

\frac{30}{20}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2} «Una cucharadita y media de...»

15.70/12.561 \approx 5/4=1\frac{1}{4} «En una hora y cuarto...»

A partir de un cierto nivel de álgebra elemental, la notación mixta suele sustituirse por fracciones impropias, que son más operacionales.4

Fracción irreducible

Artículo principal: Fracción irreducible

Véanse también: Máximo común divisor y Algoritmo de Euclides.

Dada una fracción reducible (el numerador y el denominador son primos entre sí), esta siempre se puede reducir (i.e. simplificar) hasta obtener una fracción equivalente irreducible. La noción de fracción irreducible se generaliza al cuerpo de cocientes de cualquier dominio de factorización única: todo elemento de este cuerpo puede escribirse como una fracción en la cual el numerador y el denominador son coprimos.

Fracción equivalente

Dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, y se escriben distinto.

Ejemplo:

las fracciones \dfrac{1}{2} , \dfrac{2}{4} , \dfrac{3}{6} y \dfrac{x}{2x} son equivalentes, ya que representan la cantidad «un medio».

Dos fracciones son equivalentes si pueden obtenerse una a partir de la otra, multiplicando (o dividiendo) por uno.

Ejemplos:

\dfrac{x}{2x}= \dfrac{x}{x} \cdot \dfrac{1}{2} en donde \dfrac{x}{x}=1

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