Resumen Series Calculo Integral

Definición de sucesión: En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de números que siguen un patrón específico. Formalmente, una sucesión se puede denotar como {a_n}, donde "n" es un número natural (generalmente, n = 1, 2, 3, ...) y "a_n" representa el término "n" de la sucesión. Por ejemplo, una sucesión simple podría ser {1, 2, 3, 4, 5, ...}, donde cada término es el número natural consecutivo.

Definición de serie: Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Dada una sucesión {a_n}, la serie correspondiente se denota como:

S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ...

Si la sucesión es finita, la serie también será finita, y si la sucesión es infinita, la serie se considera infinita.

Serie finita: Una serie es finita cuando solo suma un número finito de términos. Por ejemplo, la serie 1 + 2 + 3 es finita, ya que solo se suman tres términos.

Serie infinita: Una serie es infinita cuando suma un número infinito de términos. Por ejemplo, la serie 1 + 2 + 3 + ... es infinita, ya que continúa sumando términos sin límite.

Serie numérica: Una serie numérica es una serie cuyos términos son números. En otras palabras, una serie numérica implica que la sucesión {a_n} está formada por números.

Convergencia de una serie: Una serie es convergente si la suma de todos sus términos alcanza un valor finito a medida que se agregan más términos. Es decir, si existe un número real L tal que la suma de la serie se acerca cada vez más a L a medida que se agregan más términos. Si no existe dicho número L, la serie se considera divergente.

Criterio de la razón (criterio de D'Alembert): El criterio de la razón es una prueba para determinar la convergencia de una serie. Dada una serie numérica ∑(a_n), si el límite de la razón entre los términos sucesivos es menor que 1 cuando n tiende a infinito, entonces la serie converge. Matemáticamente:

lim(n→∞) |a_(n+1)/a_n| < 1 => La serie converge.

Criterio de la raíz (criterio de Cauchy): El criterio de la raíz es otra prueba utilizada para evaluar la convergencia de una serie. Si el límite de la raíz n-ésima de los términos absolutos de la serie es menor que 1 cuando n tiende a infinito, entonces la serie converge. Matemáticamente:

lim(n→∞) √(|a_n|) < 1 => La serie converge.

Criterio de la integral: El criterio de la integral es una herramienta para evaluar la convergencia de una serie numérica mediante la comparación con una integral impropia. Si la función del término general "a_n" puede ser acotada por una función continua y positiva "f(x)" en un intervalo desde un valor "k" hasta infinito, y si la integral de "f(x)" desde "k" hasta infinito es convergente, entonces la serie ∑(a_n) también converge.

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