Resumen Series Calculo Integral

Definición de sucesión: En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de números que siguen un patrón específico. Formalmente, una sucesión se puede denotar como {a_n}, donde "n" es un número natural (generalmente, n = 1, 2, 3, ...) y "a_n" representa el término "n" de la sucesión. Por ejemplo, una sucesión simple podría ser {1, 2, 3, 4, 5, ...}, donde cada término es el número natural consecutivo.

Definición de serie: Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Dada una sucesión {a_n}, la serie correspondiente se denota como:

S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ...

Si la sucesión es finita, la serie también será finita, y si la sucesión es infinita, la serie se considera infinita.

Serie finita: Una serie es finita cuando solo suma un número finito de términos. Por ejemplo, la serie 1 + 2 + 3 es finita, ya que solo se suman tres términos.

Serie infinita: Una serie es infinita cuando suma un número infinito de términos. Por ejemplo, la serie 1 + 2 + 3 + ... es infinita, ya que continúa sumando términos sin límite.

Serie numérica: Una serie numérica es una serie cuyos términos son números. En otras palabras, una serie numérica implica que la sucesión {a_n} está formada por números.

Convergencia de una serie: Una serie es convergente si la suma de todos sus términos alcanza un valor finito a medida que se agregan más términos. Es decir, si existe un número real L tal que la suma de la serie se acerca cada vez más a L a medida que se agregan más términos. Si no existe dicho número L, la serie se considera divergente.

Criterio de la razón (criterio de D'Alembert): El criterio de la razón es una prueba para determinar la convergencia de una serie. Dada una serie numérica ∑(a_n), si el límite de la razón entre los términos sucesivos es menor que 1 cuando n tiende a infinito, entonces la serie converge. Matemáticamente:

lim(n→∞) |a_(n+1)/a_n| < 1 => La serie converge.

Criterio de la raíz (criterio de Cauchy): El criterio de la raíz es otra prueba utilizada para evaluar la convergencia de una serie. Si el límite de la raíz n-ésima de los términos absolutos de la serie es menor que 1 cuando n tiende a infinito, entonces la serie converge. Matemáticamente:

lim(n→∞) √(|a_n|) < 1 => La serie converge.

Criterio de la integral: El criterio de la integral es una herramienta para evaluar la convergencia de una serie numérica mediante la comparación con una integral impropia. Si la función del término general "a_n" puede ser acotada por una función continua y positiva "f(x)" en un intervalo desde un valor "k" hasta infinito, y si la integral de "f(x)" desde "k" hasta infinito es convergente, entonces la serie ∑(a_n) también converge.

Series de potencias: Una serie de potencias es una serie numérica especial en la que los términos se expresan como potencias de una variable "x". La forma general de una serie de potencias es:

∑(c_n * x^n)

donde "c_n" son coeficientes constantes y "x" es la variable. Estas series son utilizadas para representar funciones como una suma infinita de términos.

Radio de convergencia: El radio de convergencia es un concepto asociado a las series de potencias. Dada una serie de potencias ∑(c_n * x^n), el radio de convergencia (R) es una medida de la distancia desde el punto central (donde "x" es cero) hasta el punto más alejado donde la serie aún converge. El radio de convergencia se puede encontrar utilizando el criterio de la razón.

Serie de Taylor: Una serie de Taylor es una representación de una función como una serie de potencias. Se utiliza para aproximar funciones mediante una suma infinita de términos, donde cada término se obtiene a partir de las derivadas de la función evaluadas en el punto central. La serie de Taylor de una función f(x) alrededor de "x = a" se denota como:

f(x) ≈ ∑(f^(n)(a) * (x-a)^n) / n!

donde "f^(n)(a)" representa la n-ésima derivada de la función evaluada en "x = a" y "n!" es el factorial de "n". La serie de Taylor es más precisa cuando se consideran más términos, es decir, se toma un número mayor de derivadas de la función.

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